PROFILPELAJAR.COM

Асимптотическая формула Вейля связывает объём риманова многообразия с асимптотическим поведением собственных значений его лапласиана.

История

Соотношение было получено Германом Вейлем в 1911 году. Изначально оно формулировалось только для областей евклидова пространства. В 1912 году он представил новое доказательство на основе вариационных методов.^[1]

Формулировка

Пусть $\Omega$ — $d$ -мерное риманово многообразие. Обозначим через $N(\lambda )$ число собственных значений (с учётом кратности), не превосходящих $\lambda$ , для задачи Дирихле на $\Omega$ . Тогда

N(\lambda )={\frac {\omega _{d}}{(2\pi )^{d}}}\cdot \operatorname {vol} \Omega \cdot \lambda ^{d/2}+o(\lambda ^{d/2})

,

где $\omega _{d}$ обозначает объем единичного шара в $d$ -мерном евклидовом пространстве.^[2]

Уточнения

Оценка на остаточный член была многократно улучшена.

В 1922 г. Рихард Курант улучшил её до $O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )$ .
В 1952 году Борис Левитан доказал более жесткое ограничение $O(\lambda ^{(d-1)/2})$ для замкнутых многообразий.
Роберт Сили^[англ.] обобщил эту оценку, в частности, включил определенные евклидовы области, в 1978 году.^[3]

Предположительно, следующий член в асимптотике при $\lambda ^{(d-1)/2}$ пропорционален площади границы $\Omega$ . С учётом этого члена, оценка на остаточный член должна быть $o(\lambda ^{(d-1)/2})$ . В частности, при условии отсутствия границы оценка на остаточный член в формуле выше должна быть $o(\lambda ^{(d-1)/2})$ .

В 1975 году Ганс Дейстермаат^[англ.] и Виктор Гийемин^[англ.] доказали оценку $o(\lambda ^{(d-1)/2})$ $o(\lambda ^{(d-1)/2})$ при некоторых дополнительных условиях общего положения.^[4]
- Последнее было обобщенно Виктором Иврием в 1980 году.^[5] Это обобщение предполагает, что множество периодических траекторий бильярда в $\Omega$ имеет меру 0. Последнее, возможно, выполняется для всех ограниченных евклидовых областей с гладкими границами.

Примечания

↑ H. Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen (нем.) // Math. Ann. : magazin. — 1912. — Bd. 71. — S. 441—479.
↑ Weyl, Hermann. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (неопр.) // Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1911. — С. 110—117.
↑ R. Seeley. A sharp asymptotic estimate for the eigenvalues of the Laplacian in a domain of $\mathbf {R} ^{3}$ // Adv. Math.. — 1978. — Vol. 29, no. 2. — P. 244—269. — doi:10.1016/0001-8708(78)90013-0.
↑ J. J. Duistermaat, V. W. Guillemin. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics // Inventiones mathematicae. — 1975. — Vol. 29, no. 1. — P. 39—79. — doi:10.1007/BF01405172.
↑ В. Я. Иврий. О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях с краем // Функц. анализ и его прил.. — 1980. — Т. 14, № 2. — С. 25—34.