Профессиональную карьеру Артамонов начал в Литве, затем 2,5 сезона провёл в «Одессе». В сезоне набирал 12,4 очка, 4,1 подбора и 6,6 передач в среднем за матч. В январе 2015 года Клим покинул украинский клуб из-за финансовых проблем[1].
В феврале 2015 года стал игроком владивостокского клуба «Спартак-Приморье»[2]. В среднем проводил на паркете 22,5 минут за игру, за которые набирал 8,4 очков и 3 передачи. Вместе с приморским клубом стал серебряным призёром Суперлиги.
В августе 2015 года перешёл в «Черкасские мавпы»[3]. В составе команды Клим набирал 9 очков, 6,8 передач и 3,5 подбора.
7 марта 2017 года стал известен состав команд на «Матч всех звёзд украинской Суперлиги». По итогам голосования болельщиков Артамонов попал в состав команды «Юго-Запад»[5]. В этом матче Клим провёл 20 минут и 22 секунды, за которые он набрал 4 очка, 4 передачи и 1 перехват[6].
Сезон 2020/2021 Артамонов начинал в «Николаеве»[7], за который провёл только 3 матча и отметился статистикой в 8,7 очка, 8,7 передач и 3,3 подбора.
В октябре 2020 года Артамонов покинул «Николаев»[8] и вернулся в «Одессу»[9].
Сборная Украины
В 2012 и 2013 годах Клим Артамонов в составе молодёжной сборной Украины играл на чемпионатах Европы U20, где также становился лучшим по количеству результативных передач в своей команде.