Арифметико-геометрическая прогрессия (АГП) — последовательность чисел ${\displaystyle u_{n}}$, задаваемая рекуррентным соотношением ${\displaystyle u_{n+1}=qu_{n}+d}$, где ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle d}$ — константы^[1]. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при ${\displaystyle q=1}$) и геометрическая прогрессия (при ${\displaystyle d=0}$).

1. Стационарная последовательность может быть задана следующим образом: ${\displaystyle u_{1}=1,\;d=3,\;q=-2}$, т. е. ${\displaystyle \left\{u_{n}\right\}:\quad 1,\;1,\;1,\;1,\;1}$.
2. Убывающая последовательность: ${\displaystyle u_{1}=0,\;d=-5,\;q=3}$, т. е. ${\displaystyle \left\{u_{n}\right\}:\quad 0,\;-5,\;-20,\;-65,\;-200,\;-605,\;-1820}$.
3. Возрастающая последовательность: ${\displaystyle u_{1}={\dfrac {2}{3}},\;d=-1,\;q=3}$, т. е. ${\displaystyle \left\{u_{n}\right\}:\quad {\dfrac {2}{3}},\;1,\;2,\;5,\;14,\;41,\;122,\;365}$.

Рассмотрим исходное соотношение: ${\displaystyle u_{n+1}=qu_{n}+d}$ при ${\displaystyle n=1,2,...}$

Пусть в этом соотношении ${\displaystyle q\neq 1}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$. Прибавив к обеим частям выражение ${\displaystyle {\dfrac {d}{q-1}}}$, получаем

${\displaystyle u_{n+1}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}$

${\displaystyle u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n-1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle u_{3}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}$

${\displaystyle u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}$

Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

${\displaystyle u_{n+1}=q^{n}(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}})-{\dfrac {d}{q-1}}}$

Эвристическое доказательство формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии

По определению ${\displaystyle u_{n+1}=qu_{n}+d.}$ Вместо ${\displaystyle u_{n+1}}$ и ${\displaystyle u_{n}}$ подставим ${\displaystyle \lambda }$. Тогда ${\displaystyle \lambda =q\lambda +d.}$ Рассмотрим ${\displaystyle u_{n+1}-\lambda =q\left(u_{n}-\lambda \right)}$. По методу введения новой переменной обозначим ${\displaystyle y_{n+1}\rightleftharpoons u_{n+1}-\lambda }$ и ${\displaystyle y_{n}\rightleftharpoons u_{n}-\lambda }$ и получим рекуррентную формулу для геометрической прогрессии: ${\displaystyle y_{n+1}=q\cdot y_{n}.}$ Напишем формулу общего члена геометрической прогрессии: ${\displaystyle y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}.}$ Учитывая, что ${\displaystyle y_{1}\rightleftharpoons u_{1}-\lambda }$, запишем эквивалентную формулу: ${\displaystyle u_{n}-\lambda =\left(u_{1}-\lambda \right)\cdot q^{n-1}.}$ Стало быть, ${\displaystyle u_{n}=\left(u_{1}-\lambda \right)\cdot q^{n-1}+\lambda .}$ Случай 1. При ${\displaystyle q=1}$ имеем ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+d}$. Это рекуррентная формула, задающая арифметическую прогрессию.
Случай 2. Если ${\displaystyle q\neq 1}$, тогда характеристическое уравнение примет вид ${\displaystyle \lambda =q\lambda +d}$, откуда ${\displaystyle \lambda ={\dfrac {d}{1-q}}}$.
Значит, ${\displaystyle {\begin{cases}\lambda ={\dfrac {d}{1-q}},\\u_{n}=\left(u_{1}-\lambda \right)\cdot q^{n-1}+\lambda .\end{cases}}}$ Наконец, получаем искомую формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии: ${\displaystyle u_{n}=\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)\cdot q^{n-1}-{\dfrac {d}{q-1}}.}$■

• Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:

${\displaystyle u_{n+1}=(q+1)u_{n}-qu_{n-1}}$

• Прогрессия ${\displaystyle \left\{u_{n}\right\}}$ тогда и только тогда стационарна, когда ${\displaystyle u_{n}={\dfrac {d}{1-q}}}$, причём ${\displaystyle q\neq 1}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$.

• Разность ${\displaystyle d}$ арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле

${\displaystyle d={\dfrac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}}$

• Последовательность ${\displaystyle a_{n}=u_{n+1}-u_{n}}$ является геометрической прогрессией с тем же знаменателем ${\displaystyle q}$.
• Знаменатель ${\displaystyle q}$ находится по формуле: ${\displaystyle q={\dfrac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}}$

${\displaystyle u_{n}u_{n+1}-u_{n-1}u_{n+2}=d\cdot q^{n-k+1}\cdot \left(u_{k}-u_{k-2}\right)}$

Если ${\displaystyle k+l=n+m}$, то ${\displaystyle \forall \phi ,\,\forall \psi \in \mathbb {N} }$ выполняется равенство

${\displaystyle u_{k}u_{l}-u_{n}u_{m}=d\cdot q^{\left[{\frac {k+l-1}{2}}-{\frac {\phi +\psi }{2}}\right]}\cdot \left(u_{\phi }-u_{\psi }\right)}$

• Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:

${\displaystyle S_{n+1}=(q+2)S_{n}-(2q+1)S_{n-1}+qS_{n-2}}$

• Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.

Пусть ${\displaystyle u_{k},u_{l},u_{m}}$ — соответственно ${\displaystyle k}$-й, ${\displaystyle l}$-й, ${\displaystyle m}$-й члены арифметико-геометрической прогрессии со знаменателем ${\displaystyle q}$, где ${\displaystyle k,\,l,\,m\in \mathbb {N} }$. Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство арифметико-геометрической прогрессии, называемое тождеством арифметико-геометрической прогрессии:

${\displaystyle {\text{I вариант записи:}}\quad \left(q^{k}-q^{l}\right)u_{m}+\left(q^{m}-q^{k}\right)u_{l}+\left(q^{l}-q^{m}\right)u_{k}=0.}$${\displaystyle {\text{II вариант записи:}}\quad \left(u_{k}-u_{l}\right)q^{m}+\left(u_{m}-u_{k}\right)q^{l}+\left(u_{l}-u_{m}\right)q^{k}=0.}$