Родился 26 июля 1968 г. в г. Тбилиси. В 1972 г. родители переехали в Краснодар. По рекомендации мастера спорта СССР Валерия Камаляна, родного дяди, в 1975 г. стал посещать занятия по боксу в ДЮСШ «Трудовые резервы». Первый тренер — Александр Николаевич Кульчицкий. В разные годы тренировался у В. М. Киркорова и В. Г. Киркорова. В 1993 г. окончил Краснодарский государственный институт физической культуры. Стал первым кубанским боксёром, завоевавшим первенство Европы среди юниоров[2]. Позднее стал двукратным призёром чемпионата СССР. Позже, 28 июля 1990 года, провёл свой первый бой на профессиональном ринге против Сергея Гуревича, где Гарий одержал победу по очкам[3][4].
В большинстве источников Гарий ошибочно упоминается как Гарри, Гари, Гарик[7][8].
Портретная фотография советского боксера Гария АкопянаПерерыв между раундамиПобеда Гария Акопяна над кубинским боксеромВ.М. Киркоров даёт установку на раунд Гарию АкопянуИсполнение контратакующего действие советским боксером Гарием Акопяном
