Функция масс двойных звёзд (англ. Binary mass function) — функция, создающая ограничения для массы ненаблюдаемого компонента (звезды или экзопланеты) в спектрально-двойных звёздах или планетных системах с одной линией. Значение определяется по наблюдаемым характеристикам: по орбитальному периоду двойной системы и пику лучевой скорости наблюдаемой звезды. Скорость одного компонента двойной и орбитальный период двойной системы предоставляют частичную информацию о расстоянии и гравитационном взаимодействии между компонентами, что даёт сведения о массах объектов.

Функция масс двойных систем опирается на третий закон Кеплера, в который вводится лучевая скорость наблюдаемого компонента.^[1] Третий закон Кеплера описывает движения двух тел, обращающихся вокруг одного центра масс. Он связывает период обращения (время, необходимое для совершения полного оборота), расстояние между двумя объектами и сумму их масс. При заданном расстоянии между телами в случае большей суммы масс системы орбитальные скорости также будут выше. С другой стороны, при заданной массе больший период обращения подразумевает большее расстояние и большие скорости на орбите.

Поскольку период обращения и скорости на орбите в двойной системе связаны с массами компонентов двойной, то измерение данных параметров предоставляет некоторые сведения о массе одного или обоих объектов.^[2] Но, поскольку настоящую орбитальную скорость в общем случае определить невозможно, то получаемая информация весьма ограничена.^[1]

Лучевая скорость является компонентом орбитальной скорости вдоль луча зрения наблюдателя. В отличие от истинной орбитальной скорости, лучевую скорость можно определить методами доплеровской спектроскопии спектральных линий в излучении звезды^[3] или по вариациям времени приёма импульсов от радиопульсара.^[4] В том случае, когда наблюдается спектральная линия только одного компонента, можно определить нижнюю границу для массы второго компонента.^[1]

Истинные значения массы и орбитальной скорости нельзя определить по данным о лучевой скорости, поскольку наклонение орбиты относительно картинной плоскости чаще всего неизвестно (наклонение орбиты с точки зрения наблюдателя связывает лучевую скорость и орбитальную^[1]). Это приводит к зависимости оценки массы от наклона орбиты.^[5][6] Например, если измеренная скорость мала, это может означать либо малую орбитальную скорость (что означает малые массы объектов) и большое наклонение (орбита видна практически с ребра), либо высокую орбитальную скорость (и большие массы компонентов) при малом наклонении (орбита видна практически плашмя).

Пик лучевой скорости ${\displaystyle K}$ является половиной амплитуды кривой лучевых скоростей, как показано на рисунке. Орбитальный период ${\displaystyle P_{\mathrm {orb} }}$ определяется по периодичности кривой лучевой скорости. Эти величины необходимо определить по наблюдательным данным для вычисления функции масс двойной системы.^[2]

Наблюдаемый объект и его параметры обозначим индексом 1, ненаблюдаемый объект — индексом 2.

Пусть ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ — массы объектов, ${\displaystyle M_{1}+M_{2}=M_{\mathrm {tot} }}$ представляет полную массу двойной системы, ${\displaystyle v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2}}$ — орбитальные скорости, ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ — расстояния от объектов до центра масс системы. ${\displaystyle a_{1}+a_{2}=a}$ — большая полуось двойной системы.

Запишем третий закон Кеплера, здесь ${\displaystyle \omega _{\mathrm {orb} }=2\pi /P_{\mathrm {orb} }}$ — орбитальная частота, ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная.

${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a^{3}.}$

По определению центра масс, ${\displaystyle M_{1}a_{1}=M_{2}a_{2}}$,^[1] запишем

${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)=a_{1}\left(1+{\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)={\frac {a_{1}}{M_{2}}}(M_{1}+M_{2})={\frac {a_{1}M_{\mathrm {tot} }}{M_{2}}}.}$

Подставляя данное выражение для ${\displaystyle a}$ в третий закон Кеплера, получим

${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}{\frac {a_{1}^{3}M_{\mathrm {tot} }^{3}}{M_{2}^{3}}},}$

что можно переписать в виде

${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a_{1}^{3}}{G}}.}$

Пик лучевой скорости объекта 1, ${\displaystyle K}$, зависит от наклонения орбиты ${\displaystyle i}$ (наклонение 0° соответствует орбите, видимой плашмя, при наклонении 90° орбита видна с ребра). Для круговой орбиты (эксцентриситет равен 0) ${\displaystyle K}$ определяется соотношением^[7]

${\displaystyle K=v_{1}\sin i=\omega _{\mathrm {orb} }a_{1}\sin i.}$

После подстановки ${\displaystyle a_{1}}$ получаем соотношение

${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {K^{3}}{G\omega _{\mathrm {orb} }\sin ^{3}i}}.}$

Функция масс двойной системы ${\displaystyle f}$ имеет вид^{[1][2][6][7][8][9][10]}

${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\ \sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}.}$

Для оценки или предположения о массе ${\displaystyle M_{1}}$ наблюдаемого объекта 1 можно определить минимальную массу ${\displaystyle M_{\mathrm {2,min} }}$ ненаблюдаемого объекта 2 в предположении ${\displaystyle i=90^{\circ }}$. Истинное значение массы ${\displaystyle M_{2}}$ зависит от наклонения орбиты. Наклонение обычно неизвестно, но с некоторой точностью его можно определить из наблюдений затмений,^[2] ограничить по ненаблюдаемости прохождений^[8][9] или моделировать с использованием эллипсоидальных вариаций (несферическая форма звезды в двойной системе приводит к изменениям блеска при обращении по орбите, зависящим от наклонения системы).^[11]

В случае ${\displaystyle M_{1}\gg M_{2}}$ (например, когда ненаблюдаемый объект является экзопланетой^[8]) функция масс приводится к виду ${\displaystyle f\approx {\frac {M_{2}^{3}\ \sin ^{3}i}{M_{1}^{2}}}.}$

В случае ${\displaystyle M_{1}\ll M_{2}}$ (например, если ненаблюдаемый объект является массивной чёрной дырой), функция масс имеет вид^[2] ${\displaystyle f\approx M_{2}\ \sin ^{3}i,}$

и при ${\displaystyle 0\leq \sin {i}\leq 1}$ для ${\displaystyle 0^{\circ }\leq i\leq 90^{\circ }}$ функция массы даёт нижний предел для массы ненаблюдаемого объекта 2.^[6]

В общем случае для любого ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle M_{1}}$

${\displaystyle M_{2}>\mathrm {max} \left(f,f^{1/3}M_{1}^{2/3}\right).}$

В случае, когда орбита обладает ненулевым эксцентриситетом ${\displaystyle e}$, функция массы имеет вид^[7][12]

${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\ \mathrm {sin} ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}(1-e^{2})^{3/2}=10385\cdot 10^{-11}\,\left(1-e^{2}\right)^{3/2}K^{3}P_{\mathrm {orb} }}$.

Если объект-аккретор в рентгеновской двойной звезде обладает минимальной массой, превосходящей предел Оппенгеймера — Волкова (наибольшая возможная масса нейтронной звезды), то объект, вероятно, является чёрной дырой. Такова ситуация с источником Лебедь X-1, для которого была измерена скорость звезды-компаньона.^[13][14]

Наличие экзопланеты приводит к движению звезды по малой орбите вокруг центра масс системы звезда-планета. Такие колебания могут наблюдаться, если лучевая скорость звезды достаточно высока. Похожим образом проводится метод детектирования экзопланет по лучевым скоростям.^[3][5] Используя функцию масс и лучевую скорость родительской звезды, можно определить минимальную массу экзопланеты.^{[15][16]:9[12][17]} Применение данного метода к наблюдениям Проксимы Центавра, ближайшей звезды к Солнцу, привело к обнаружению Проксимы Центавра b, экзопланеты земного типа с минимальной массой 1.27 M_⊕.^[18]

Пульсарные планеты обращаются вокруг пульсаров, несколько подобных планет было открыто при анализе интервалов времени между вспышками. Изменения лучевой скорости пульсара определяются по меняющимся промежуткам времени между приёмом сигнала от импульсов.^[4] Первые экзопланеты открыты таким методом в 1992 году вокруг миллисекундного пульсара PSR 1257+12.^[19] Другим примером является PSR J1719-1438, миллисекундный пульсар, чьим компаньоном является PSR J1719-1438 b, обладает минимальной массой примерно как у Юпитера, согласно функции масс.^[8]