Уравнение Эйлера — Лагранжа

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера, или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации и совместно с принципом стационарности действия используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в ноль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Формулировка

Пусть задан функционал

на пространстве гладких функций , где через обозначена первая производная по .

Предположим, что подынтегральная функция , дважды непрерывно дифференцируема. Функция называется функцией Лагранжа, или лагранжианом.

Если функционал достигает экстремума на некоторой функции , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа в предположении, что кратчайший путь существует и является гладкой кривой.

Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты и . Тогда длина пути , соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

откуда получаем, что

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что , , т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок прямой, соединяющий точки.

Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

  • Если  — путь в -мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

только если удовлетворяет условию

В физических приложениях, когда является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

  • Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции переменных. Если  — какая-либо (в данном случае n-мерная) поверхность, то

где  — независимые координаты, , ,

доставляет экстремум, если только удовлетворяет уравнению в частных производных

Если и  — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

  • Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной плёнки, приведённого в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой плёнки (если, конечно, нам удалось изначально записать для неё действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).

История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин предложил Эйлер в 1766 году).

Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию , которая удовлетворяет граничным условиям , и доставляет экстремум функционалу

Предположим, что имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение , которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение (если минимизирует его) или уменьшать (если максимизирует).

Пусть  — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию . Определим

где — произвольный параметр.

Поскольку даёт экстремум для , то , то есть

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

Используя граничные условия на , получим

Отсюда, так как  — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

Если не вводить граничные условия на , то также требуются условия трансверсальности:

Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от производных порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

Если наложить граничные условия на и на её производные до порядка включительно, а также предположить, что имеет непрерывные частные производные порядка [1], то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера — Лагранжа и для этого случая:

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера — Пуассона.

Два лагранжиана, отличающеся на полную производную, дадут одни и те же дифференциальные уравнения, однако максимальный порядок производных в этих лагранжианах может быть различный. Например, . Чтобы получить дифференциальное уравнение на экстремум, к достаточно применить «обычное» уравнение Эйлера — Лагранжа, а для , поскольку он зависит от второй производной, нужно использовать уравнение Эйлера — Пуассона с соответствующим слагаемым:

и в обоих случаях получится одно и то же дифференциальное уравнение .

Примечания

  1. А. М. Денисов, А. В. Разгулин. Обыкновенные дифференциальные уравнения (рус.). Дата обращения: 11 июня 2021. Архивировано 11 июня 2021 года.

Литература

  • Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
  • Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
  • Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

Ссылки