Родилась в Москве, где её отец Байтак Турсынбаев, юрист по образованию (окончил Карагандинский университет в 1992 году), занимался бизнесом[6]. Мать, Падишахан Султаналиева, окончила экономический факультет МГУ им. М. Ломоносова. Когда мать была в роддоме, она смотрела фильм «Клеопатра» с Элизабет Тейлор и решила назвать дочь в честь известной актрисы. В детстве Элизабет Турсынбаева много болела, иммунитет был слабым, и родители привели её в секцию фигурного катания, как ранее и сына Тимура. Тимур Турсынбаев стал дважды чемпионом клуба ЭШВСМ «Москвич», выиграл ряд российских и международных турниров. Но отец часто вывозил своих детей и на казахстанские турниры. Когда Турсынбаева весной 2013 года завоевала золото в первенстве Москвы среди юниоров, и её включили в сборную Москвы и России, на семейном совете было решено, что она будет выступать за Кызылординскую область и Казахстан.
В сентябре 2015 года стартовала в новом сезоне в США, где была второй на турнире в Солт-Лейк-Сити[12]. Это был её первый взрослый международный турнир, и на нём ей удалось превзойти все свои прежние спортивные достижения. Через месяц на турнире в Канаде заняла первое место, впервые став победителем на взрослом турнире[13]. В начале декабря заняла второе место на турнире «Золотой конёк Загреба» в Хорватии. В начале февраля выступала на юношеских Олимпийских играх в Хамаре, где заняла третье место[14]. В начале апреля на мировом чемпионате в Бостоне пробилась в дюжину лучших одиночниц мира[15]. В конце апреля, выступая в США за команду Азии на Кубке континентов, улучшила свои достижения в короткой и произвольной программах[16].
В феврале 2018 года выступила на зимних Олимпийских играх в Пхёнчхане. За свой прокат в произвольной программе набрала 118,30 балла, что в сумме с короткой программой (57,95 балла), где она была 15-й, дало 177,12 балла. В итоге она заняла общее 12-е место[23].
В июне 2018 года стало известно, что Турсынбаева закончила пятилетнее сотрудничество с канадским тренером Брайаном Орсером и вернулась в Россию к Этери Тутберидзе[24][25]. Вскоре после этого ей удалось добиться наиболее значимых успехов в своей спортивной карьере. В феврале 2019 года на чемпионате четырёх континентов в Анахайме она уступила лишь японской фигуристке Рике Кихире и выиграла серебряную медаль этих престижных соревнований. В марте того же года на чемпионате мира в Сайтаме также стала серебряным призёром вслед за другой ученицей Тутберидзе Алиной Загитовой (Россия)[26]. Причём в произвольной программе Турсынбаева смогла исполнить чистый четверной сальхов и вошла в историю как первая фигуристка, которая выполнила прыжок в четыре оборота на взрослых соревнованиях[27][28]. До неё четверные прыжки покорялись только японке Мики Андо и россиянке Александре Трусовой на юниорских стартах[29].
Эти достижения Турсынбаевой были высоко оценены в Казахстане. В 2019 году она стала лауреатом Государственной молодёжной премии «Дарын» в области спорта[30] и Национальной премии «Народный любимец — 2019» в номинации «Лучшая спортсменка года». В декабре 2019 года она также была награждена медалью «За трудовое отличие»[31].
В последующие два сезона спортсменка боролась с хронической травмой спины, которая не позволяла ей полноценно тренироваться и выступать на соревнованиях. В 2020 году Элизабет сообщила о поступлении в МГИМО на специальность «Международная журналистика»[32], а в сентябре 2021 года официально объявила о вынужденном завершении своей спортивной карьеры[33].