В алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные, то есть простейшие объекты. Как множества, они состоят из одного элемента, обозначаемого символом «0», а сам объект — как «{0}», или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения Tx = 0всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество {0}».
В трёх последних случаях умножение на скаляр определяется как κ0 = 0 , где κ ∈ R.
Всякая нулевая алгебра также тривиальна как кольцо. Нулевая алгебра над полем является нулевым линейным пространством, а над кольцом — нулевым модулем.
Терминальность тривиального объекта означает, что морфизм A → {0} существует и единственнен для любого объекта A в категории. Этот морфизм отображает всякий элемент объекта A в 0.
В категориях Rng (колец без обязательной единицы), R-Mod и VectR, тривиальное кольцо, нулевые модуль и пространство соответственно являются нулевыми объектами. Нулевой объект по определению начален, то есть морфизм {0} → A существует и единственнен для любого объекта A в категории. Этот морфизм отображает 0, единственный элемент объекта {0}, в нуль 0 ∈ A. Это мономорфизм, и его образ (подмодуль/подпространство в A, порождённый нулём элементов) изоморфен {0}.
Структуры с единицей
В структурах с единицей (нейтральным элементом умножения) дело не так просто. Когда определение морфизма в категории требует их сохранения, тривиальный объект либо является только терминальным (но не начальным), либо не существует вовсе (например, когда определение структуры требует неравенство 1 ≠ 0).
В категории Ring колец с единицами, кольцо целых чиселZ является начальным объектом, а не {0}.
