Сужение функции на подмножество ${\displaystyle X}$ её области определения ${\displaystyle D\supset X}$ — функция с областью определения ${\displaystyle X}$, совпадающая с исходной функцией на всём ${\displaystyle X}$.

Сужение функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle f|_{X}}$ или ${\displaystyle f|X}$. Так, для ${\displaystyle f:A\to B}$, и ${\displaystyle X\subset A}$, ${\displaystyle g=f|_{X}}$ означает, что ${\displaystyle g:X\to B}$ и ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$.

Пусть дано отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle M\subset X}$.

Функция ${\displaystyle g\colon M\to Y}$, которая принимает на ${\displaystyle M}$ те же значения, что и функция ${\displaystyle f}$, называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции ${\displaystyle f}$ на множество ${\displaystyle M}$.

• Наиболее общее определение сужения реализуется в контексте пучков^{[уточнить]}.
• Для функции ${\displaystyle f:A\to B}$ рассматривают также сужение на подмножество ${\displaystyle A\times B}$

Если функция ${\displaystyle g\colon M\to Y}$ такова, что она является сужением для некоторой функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, то функция ${\displaystyle f}$, в свою очередь, называется продолжением функции ${\displaystyle g}$ на множество ${\displaystyle X}$.

Имея некоторую функцию ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, её можно продолжить бесконечным числом способов на множество ${\displaystyle M\supset X}$, в том числе непрерывным образом. Однако, если функция ${\displaystyle f}$ — аналитическая функция в ${\displaystyle X}$, то существует единственное аналитическое продолжение на ${\displaystyle M}$.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.