Родился в семье потомственных охотников-егерей. Старшее поколение Старостиных (а также родственных линий Зуевых и Лихачёвых) — выходцы Псковской губернии. Многие годы занимались охотой, выращивали специальных охотничьих собак (пойнтер, сеттер-гордон, лаверак), многие из которых становились чемпионами на Всероссийских полевых испытаниях охотничьих собак. Крёстным отцом Старостина был текстильный фабрикант Алексей Назарович Грибов, который охотился с его отцом и дядей.
В 1920 году отец умер от сыпного тифа, после чего Андрей Старостин вернулся в Москву и поступил на работу помощником слесаря в Центральных ремонтных мастерских МОЗО, занимавшейся ремонтом тракторов и сборкой сельскохозяйственных орудий труда. После работы вместе с братьями Николаем и Александром, ходил играть в футбол на Девичье Поле в детскую футбольную секцию РГО. Также с братьями играл в театральной секции при Боткинской больнице[2].
Карьера игрока
Начал играть в 1922 году в Москве в клубной команде МКС.
Выступал за московские клубы «Красная Пресня» (1923—1925), «Пищевики» (1926—1930), «Промкооперация» (1931, 1934), «Дукат» (1932—1933), «Спартак» (1935—1942, капитан команды в 1937—1940).
Чемпион РСФСР 1931 г. Чемпион СССР 1935 (5 игр, 1 гол), 1936 (осень), 1938, 1939 гг. 2-й призёр чемпионата СССР 1937, 3-й призёр — 1936 (в), 1940. В чемпионатах СССР — 93 матча, 4 гола.
Участник матчей с зарубежными профессиональными футбольными командами — «Жиденице» (Брно, Чехословакия) в 1934 году, сборной Праги в 1935 году, «Расингом» (Париж, Франция) 1 января 1936 года, командами Болгарии в 1940 году.
Отличался тонким тактическим чутьём, смелостью в единоборствах. Хорошо играл головой, обладал сильным ударом с правой ноги.
Хорошо играл в хоккей с мячом полузащитником. В сборной Москвы — 1929-35. 2-й призёр чемпионата СССР 1935. Чемпион РСФСР 1932, 1934. Чемпион Москвы 1927, 1928.
За несколько десятилетий, прошедших после того, как играл Андрей, я не видел равного ему капитана. Возможно, были капитаны, которые незаметно подсказывали, одобряли или одергивали товарищей. Андрей капитанствовал на глазах у трибун. Выразительная, прямо-таки театральная жестикуляция, выговор, похвала, обращение к судье, распоряжение, как ставить «стенку», назначение бьющего штрафной или пенальти — все шло от него, и публика в заковыристые моменты искала его глазами, желая узнать, что же произошло, что предпримет, как поведет себя капитан. И тут у книжных подростков, какими были мои одноклассники и я в том числе, легко разыгрывалась фантазия: Колумб, Магеллан, Грант, Немо, Гаттерас…
Или бунт на борту обнаружив, Из-за пояса рвет пистолет, Так, что сыплется золото с кружев, С розоватых брабантских манжет... Разве трусам даны эти руки, Этот острый уверенный взгляд, Что умеет на вражьи фелуки Неожиданно бросить фрегат.Николай Гумилёв
«Динамо» — «Спартак» в чемпионате 1939 года. Игра идет к концу с перевесом «Динамо» 1:0. И надо же было Михаилу Якушину, в ответ на один из последних отчаянных зычных, на весь стадион, призывов Андрея Старостина в сторону нападения: «Володя! Играть будете?!», глядя на Андрея, усмехаясь и потирая руки, сказать: «Кажется, готовы!». Внезапно произошла яростная вспышка. Андрей рявкнул: «Да я вас один обыграю», и, перехватив мяч, ринулся к воротам «Динамо», увлекая за собой всю свою команду. Сам гола не забил, но пенальти заработал и положение спас.
Колоссальное впечатление производили Старостины, особенно Андрей Петрович. Прекрасно знал литературу. Это был человек, полный достоинства. Необычайно красивый.
— У Бескова такой советчик был? — И тоже — лишь один, Андрей Петрович Старостин. С ним Бесков обожал разговаривать. С Николаем Петровичем подолгу беседовать ему было сложнее, тот вообще не употреблял, только чай с баранками. А с Андреем Петровичем засиживались до утра. Бывало, выходил Старостин под утро на крыльцо: «Костя! Всякая компания расходится для того, чтоб собраться вновь». До сих пор вспоминаю его размеренную походку, руку в кармане брюк, острословие…
Жена — Ольга Николаевна Кононова (1911—после 2001)[13], актриса театра «Ромэн». В 40-е годы Кононова была арестована и провела в лагерях несколько лет. По словам дочери, Н. А. Старостиной, «мама вернулась, когда мне было пять лет — ей, слава Богу, дали бытовую статью за взятку охраннику. Она хотела передать какие-то именные часы, её и посадили по этому делу»[14]. Ольге Кононовой посвящено стихотворение Эдуарда Асадова «Ее любовь» (Ах, как бурен цыганский танец!).
Российский футбол за 100 лет. Энциклопедический справочник. — М.: Грэгори-Пэйдж, 1997. — С. 503—504. — 728 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-900493-70-9.
Васильев П. А., Лыткин О. Ю. Гвардия советского футбола / Павел Васильев, Олег Лыткин. — М.: Молодая гвардия, 2015. — С. 58—85. — 382[2] с. — (Жизнь замечательных людей: Малая серия: сер. биогр.; вып. 90). — 3000 экз. — ISBN 978-5-235-03818-9.
Духон Б. Л., Морозов Г. Н. Братья Старостины / Борис Духон, Георгий Морозов; предисл. Л. И. Филатова. — М.: Молодая гвардия, 2012. — 276 с. — (Жизнь замечательных людей: сер. биогр.; вып. 1353). — 5000 экз. — ISBN 978-5-235-03504-1. Есть аудиокнига
Старостин А. П. Большой футбол. — М.: Молодая гвардия, 1957. — 254 с. — 50 000 экз.
Старостин А. П. Большой футбол. — 2-е изд. — М.: Молодая гвардия, 1959. — 320 с. — 50 000 экз.
Старостин А. П. Большой футбол. — 3-е изд. — М.: Московский рабочий, 1964. — 342 с. — 100 000 экз.
Старостин А. П. Повесть о футболе. — М.: Советская Россия, 1973. — 272 с. — 100 000 экз.
Старостин А. П. Встречи на футбольной орбите. — 2-е изд. — М.: Советская Россия, 1980. — 272 с. — 50 000 экз.
Старостин А. П. Флагман футбола. — М.: Советская Россия, 1988. — 224 с. — 50 000 экз.