PROFILPELAJAR.COM

Смещение вследствие пропущенных переменных (англ. Omitted variable bias) — явление в регрессионном анализе, связанное с получением, смещённых и несостоятельных оценок регрессионных коэффициентов вследствие некорректной спецификации модели, а именно невключения в оцениваемую модель независимых переменных, оказывающих причинно-следственное влияние на зависимую переменную, или невозможности включить в неё некую ненаблюдаемую независимую переменную.

Формальный вывод

Представим, что истинная регрессионная модель выглядит следующим образом:

y=\mathrm {x} '\beta +\gamma z+\epsilon ,

где $y$ — вектор отклика, $x$ и $z$ — матрица и вектор независимых переменных. При условии, что $cor(x,~\epsilon )=0$ и $cor(z,~\epsilon )=0$ , то оценки $\beta$ и $\gamma$ соответственно будут МНК-оценками регрессионной зависимости отклика от независимых переменных. В частности, ${\hat {\beta }}=(X'X)^{-1}X'y$ (где $X$ — объединённая матрица независимых переменных).

Чтобы смоделировать смещение вследствие пропущенных переменных, опустим предиктор $z$ , включив его в состав нескоррелированной с $x$ части модели:

y=\mathrm {x} '\beta +(\gamma z+\epsilon ),\quad

где

cor(x,~(\gamma z+\epsilon ))\neq 0

.

Тогда МНК-оценки коэффициентов при предикторах будут несостоятельны в сравнении с истинным коэффициентом $\beta$ :

{\hat {\beta }}=\beta +(N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'z)\gamma +(N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'\mathbf {\epsilon } )

Поскольку, согласно допущению изначальной модели, $cor(x,~\epsilon )=0$ , то $\mathrm {plim} \left((N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'\mathbf {\epsilon } )\right)=0$ , тогда как

\mathrm {plim} ({\hat {\beta }})=\beta +\delta \gamma ,\quad

откуда

\delta =\mathrm {plim} \left((N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'z)\right)

.

Литература

Cameron A. C., Trivedi P. K. Microeconometrics: methods and applications. – Cambridge university press, 2005. — 1034 p. — P. 92-93.
Wooldridge J. M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. – South-Western College Pub, 2002. — 819 p. — P. 87-92, 165-166.