Примарная абелева группа

$p$ -примарная абелева группа (где $p$ — фиксированное простое число) — абелева группа $(A,+)$ , такая что порядок любого элемента из $A$ является степенью $p$ .

Примеры

$(\mathbb {Z} _{p^{n}},+)$ — аддитивная группа классов вычетов по модулю $p^{n}$ ;
$(\mathbb {Z} _{p}[x],+)$ — аддитивная группа кольца многочленов над полем $\mathbb {Z} _{p}$ .

Свойства

Любая периодическая абелева группа (то есть группа без элементов бесконечного порядка) разлагается в прямую сумму $p$ -примарных подгрупп.

Примарная абелева группа $(A,+)$ называется элементарной, если все ее ненулевые элементы имеют порядок равный $p$ .

Абелева группа $A$ является $p$ -примарной элементарной тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую сумму групп вида $\mathbb {Z} _{p}$ .

$p$ -высотой элемента $a\in A$ называется наименьшее натуральное число $n$ , такое что $a\in nA$ . Если такого натурального $n$ не существует, то элемент $a$ имеет бесконечную $p$ -высоту.

Критерий Куликова: $p$ -примарная абелева группа $A$ является прямой суммой циклических групп тогда и только тогда, когда $A$ есть объединение возрастающей цепочки подгрупп

A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots ,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=A

где $p$ -высоты ненулевых элементов подгрупп $A_{i}$ меньше фиксированного элемента $k_{n}$ .

Критерий Куликова обобщает теоремы Прюфера:

Первая теорема Прюфера: Ограниченная $p$ -примарная (периодическая) абелева группа является прямой суммой циклических подгрупп.
Вторая теорема Прюфера: Счетная $p$ -примарная абелева группа разлагается в прямую сумму циклических подгрупп тогда и только тогда, когда она не содержит ненулевых элементов бесконечной $p$ -высоты.

Литература

Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
Л. Я. Куликов К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник, 1941. — Т. 9, № 1. — С. 165—181.
H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. — Т. 17, № 1. — С. 35-61.

Read other articles:

Międzymorze

Salah satu usulan Federasi Intermarium. Warna hijau muda adalah wilayah Ukraina dan Belarus yang berada di bawah kendali Uni Soviet setelah tahun 1921. Międzymorze (pengucapan bahasa Polandia: [mʲɛnd͡zɨˈmɔʐɛ]), juga dikenal dengan istilah Latin Intermarium, adalah sebuah rencana yang dicetuskan oleh pemimpin Polandia Józef Piłsudski setelah berakhirnya Perang Dunia I. Rencana ini ingin mendirikan sebuah federasi[1][2][3][4][5] di negara-...

Pusat Cadillac

Stadion Wukesong (Cadillac Center)五棵松体育馆（凯迪拉克中心）Bagian luar stadion (sekitar 2008)Nama lamaWukesong Culture & Sports Center (2008–2011)MasterCard Center (2011–2015)LeSports Center (2016–2017)Huaxi Live (2017)Cadillac Arena (2017–sekarang)AlamatJalan Fuxing 69Beijing 100036, TiongkokLokasiDistrik HaidianKoordinat39°54′36″N 116°16′29″E / 39.9099889°N 116.274664°E / 39.9099889; 116.274664Koordinat: 39°54′36″N 116°1...

Latin classique

Pour un article plus général, voir Latin. Latin classiquelingua latīna Période du Ier siècle av. J.-C. au Ier siècle Pays Empire romain Typologie SOV, flexionnelle, accusative, morique, à accent de hauteur Classification par famille - langues indo-européennes - langues italiques - langues latino-falisques - latin - latin classique Codes de langue Étendue Langue individuelle Type Langue morte Linguasphere 51-AAB-aaa modifier Le latin classique est la forme du lat...

Woolloongabba Police Station

Historic site in Queensland, AustraliaWoolloongabba Police StationView from Main Road, 2015Location842–848 Main Street, Woolloongabba, City of Brisbane, Queensland, AustraliaCoordinates27°29′07″S 153°02′10″E / 27.4854°S 153.0362°E / -27.4854; 153.0362Design period1900–1914 (early 20th century)Built1913–1936ArchitectQueensland Department of Public WorksArchitectural style(s)Classicism Queensland Heritage RegisterOfficial nameWoolloongabba Police Stati...

Christopher Street Pier

Piers in Manhattan, New York 40°43′59″N 74°00′40″W / 40.733113°N 74.01103°W / 40.733113; -74.01103 This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Christopher Street Pier – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2017) (Learn how and when to remove this templa...

Bohdan Paczyński

Polish astronomer (1940–2007) Bohdan PaczyńskiBorn(1940-02-08)8 February 1940Vilnius, LithuaniaDied19 April 2007(2007-04-19) (aged 67)Princeton, New Jersey, United StatesNationalityPolishAlma materUniversity of WarsawKnown forPaczyński-Wiita potentialAwards Karl Schwarzschild Medal (1981) Eddington Medal (1987) Heineman Prize (1992) Prize of the Foundation for Polish Science (1996) Henry Draper Medal (1997) Gold Medal of the Royal Astronomical Society (1999) Bruno Rossi Pri...

1810 en musique classique

Chronologies Données clés 1807 1808 1809 1810 1811 1812 1813Décennies :1780 1790 1800 1810 1820 1830 1840Siècles :XVIIe XVIIIe XIXe XXe XXIeMillénaires :-Ier Ier IIe IIIe Chronologies géographiques Afrique Afrique du Sud, Algérie, Angola, Bénin, Botswana, Burkina Faso, Burundi, Cameroun, Cap-Vert, République centrafricaine, Comores, République du Congo, République démocratique du Congo, Côte d'Ivoire, Djibouti, Égyp...

Jennifer Connelly

American actress (born 1970) Jennifer ConnellyConnelly in 2010BornJennifer Lynn Connelly (1970-12-12) December 12, 1970 (age 53)Cairo, New York, U.S.EducationYale UniversityStanford UniversityOccupationActressYears active1982–presentSpouse Paul Bettany (m. 2003)Children3 Jennifer Lynn Connelly (born December 12, 1970) is an American actress. She began her career as a child model before making her acting debut in the 1984 crime film Once Upon a Time i...

2021–22 Kategoria Superiore

Football league seasonKategoria SuperioreSeason2021–22Dates10 September 2021 – 26 May 2022ChampionsTirana26th titleRelegatedDinamo TiranaSkënderbeuChampions LeagueTiranaEuropa Conference LeagueLaçiPartizaniVllazniaMatches played180Goals scored408 (2.27 per match)Top goalscorerSaliou GuindoTaulant Seferi(19 goals each)Biggest home winLaçi 5–0 Dinamo(3 December 2021)Partizani 5–0 Kukësi(2 March 2022)Biggest away winKastrioti 1–6 Kukësi(4 December 2021)Highest scoringVllaznia...

Філософія

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

Maxine Nightingale

British R&B and soul music singer (born 1952) This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Maxine Nightingale – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2018) (Learn how and whe...

List of IBM Personal Computer models

The original IBM Personal Computer, with monitor and keyboard The IBM Personal Computer, commonly known as the IBM PC, spanned multiple models in its first generation (including the PCjr, the Portable PC, the XT, the AT, the Convertible, and the /370 systems, among others), from 1981 to 1987. It eventually gave way to many splintering product lines after IBM introduced the Personal System/2 in April 1987. Notes Legend ISA, 8-bit ISA, 16-bit Other Models Th...

Carl Lumbly

American actor (born 1951) Carl LumblyLumbly in 2022BornCarl Winston Lumbly (1951-08-14) August 14, 1951 (age 72)Minneapolis, Minnesota, U.S.EducationMacalester CollegeOccupationActorYears active1979–presentSpouses Vonetta McGee (m. 1987; died 2010) Deborah Santana (m. 2015; div. 2019) [1]Children1 Carl Winston Lumbly (born August 14, 1951)[2] is an American acto...

Aero California

Aero California IATA ICAO Kode panggil JR SER AEROCALIFORNIA Didirikan1960[1]Berhenti beroperasi2008PenghubungBandar Udara Internasional Mexico CityKota fokusDon Miguel Hidalgo Int'l AirportGen. Abelardo L. R. Int'l AirportProgram penumpang setiaNoneArmada22 (upon closure)Tujuan17 (upon closure)Kantor pusatLa Paz, MeksikoSitus web[1] Aero California adalah nama maskapai penerbangan Meksiko. Dengan kode IATA JR dan kode ICAO SER. Maskapai ini berdiri tahun 1960. Referensi ^ Norwood, To...

.be

.be البلد بلجيكا الموقع الموقع الرسمي تعديل مصدري - تعديل be. هو نطاق إنترنت من صِنف مستوى النطاقات العُليا في ترميز الدول والمناطق، للمواقع التي تنتمي لبلجيكا.[1][2] مراجع ^ النطاق الأعلى في ترميز الدولة (بالإنجليزية). ORSN [الإنجليزية]. Archived from the original on 2019-05-07. Ret...

First inauguration of Richard Nixon

46th United States presidential inauguration First presidential inauguration of Richard NixonChief Justice Warren administered the oath of office to NixonDateJanuary 20, 1969; 55 years ago (1969-01-20)LocationUnited States Capitol,Washington, D.C.Organized byJoint Congressional Committee on Inaugural CeremoniesParticipantsRichard Nixon37th president of the United States— Assuming officeEarl WarrenChief Justice of the United States— Administering oathSpiro Agnew39th vice ...

خوليو ميديم

خوليو ميديم (بالإسبانية: Julio Medem)‏ معلومات شخصية الميلاد 21 أكتوبر 1958 (العمر 65 سنة)سان سباستيان[1][2] الجنسية إسبانيا العرق باسكيون، إسبان الحياة العملية المدرسة الأم جامعة إقليم الباسك المهنة مخرج أفلام، وكاتب سيناريو، ومونتير، ومنتج أفلام[3]، ...

العلاقات الأنغولية الدومينيكانية

العلاقات الأنغولية الدومينيكانية أنغولا جمهورية الدومينيكان أنغولا جمهورية الدومينيكان تعديل مصدري - تعديل العلاقات الأنغولية الدومينيكانية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين أنغولا وجمهورية الدومينيكان.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البل�...

Battle of Langensalza (1866)

For other uses, see Battle of Langensalza. Battle of LangensalzaPart of Austro-Prussian WarPrussian Artillery attacked at the Battle of Langensalza 1866Date27 June 1866LocationLangensalza, Province of Saxony, PrussiaResult See aftermathBelligerents Prussia Saxe-Coburg and Gotha Hanover BavariaCommanders and leaders Helmuth von Moltke(Theater commander) Eduard Vogel von Falckenstein Gustav Beyer Eduard von Flies George V Alexander von ArentschildtStrength 9,000 19,000Casu...

Zona ekonomi eksklusif Indonesia

Zona ekonomi eksklusif yang diklaim oleh Indonesia ditunjukkan dalam warna biru manis Indonesia memiliki Zona Ekonomi Eksklusif (ZEE) yang merupakan ZEE terbesar ke-6 di dunia dengan luas 6.159.032 km2 (2.378.016 sq mi). Indonesia telah mengklaim ZEE sejauh 200 mil laut (370 km; 230 mi) dari garis pantainya. Hal ini menyebabkan jumlah pulau di kepulauan Indonesia, yang berjumlah 17.508 pulau,[1] Indonesia memiliki garis pantai terpanjang ke-2 di dunia sepanjan...

Force India

Blepharoneura manchesteri

1991 Florida State Seminoles baseball team

Angka reproduksi dasar

Lambudoni, Andowia, Konawe Utara

Swimming at the 2020 Summer Paralympics – Women's 50 metre breaststroke SB3

Kingdom of Benin