Рустам Оруджев родился 4 октября 1991 года в России, в городе Усть-Илимск Иркутской области. С семи лет начал заниматься дзюдо. До шестнадцати лет жил в Иркутской области. Выступал на различных юношеских соревнованиях. После совершеннолетия переехал в Баку, где стал заниматься в клубе «Аттила». На юношеском уровне выиграл чемпионат Евразии, однако на молодёжном уровне выиграть первенство континента не удавалось. Позже Оруджев перешёл на взрослый уровень, где вначале выступал в весе до 66 кг. Первые успехи на взрослом уровне пришли после того, как Рустам Оруджев начал бороться в категории до 73 кг[4].
В июне 2011 года на Кубке Европы в словенском городе Целе Оруджев занял второе место, в октябре этого же года на Кубке мира в Баку, где Оруджев впервые начал выступать в весе до 73 кг[4], — третье. В феврале 2012 года Оруджев стал пятым на Гран-При в Дюссельдорфе[4]. Таким турниры, позволявшие набирать очки для получения олимпийской лицензии завершились, и Оруджев сумел пробиться на Олимпиаду только благодаря континентальной квоте Европейского Союза дзюдо. В мае 2012 года на Гран-При Баку Оруджев занял уже первое место.
На Олимпийских играх в Лондоне Оруджев в 1/16 финала одержал победу на Гидеон ван Зилом из ЮАР, но проиграл будущему чемпиону этих игр Мансуру Исаеву из России и завершил выступление.
В 2013 году, когда Рустам Оруджев только вернулся из армии, он выступил на Гран-При Самсуна, где потерпел поражение..
Но, в мае 2013 года Оруджеву удалось стать победителем турнира «Большого шлема», проходившего в Баку[5]. А в 2014 году на очередном турнире Гран-при в Самсуне Оруджев выиграл серебряную медаль[6].
На чемпионате мира 2017 года Оруджев сумел дойти до финала, где, уступив японцу Сойчи Хашимото, завоевал серебряную медаль[10].
На Европейских играх 2019 года взял серебряную медаль, уступив лишь в финале шведу Томми Масиасу. Помимо этого Оруджеву была вручена также серебряная медаль чемпионата Европы[11], поскольку именно такой статус имели соревнования по дзюдо на Евроиграх в Минске[12].
24 октября 2020 года Рустам Оруджев в весе до 73 кг стал победителем турнира «Большого шлема», который проходил в Будапеште, одолев в финале швейцарца Нильса Стампа[13]. Свою победу он посвятил погибшим в боях военнослужащим Азербайджана, а призовые деньги за золотую медаль Оруджев пообещал отправить солдатам и офицерам азербайджанской армии[14].
В 2020 году на чемпионате Европы в ноябре в чешской столице, Рустам смог завоевать бронзовую медаль турнира. В четвертьфинале уступил грузинскому дзюдоисту Лаше Шавдатуашвили.
На Олимпийских играх 2020 в Токио Рустам Оруджев был одним из знаменосцев сборной. Выиграв первые две схватки у Мусы Могушкова из России и Сомона Махмадбекова из Таджикистана, Оруджев вышел в четвертьфинал, где уступил олимпийскому чемпиону Сёхэй Оно из Японии, с которым встречался в финале Игр 2016 года. В первой утешительной схватке Оруджев одолел Акила Гякова из Косово. В поединке за бронзу с Ан Чхаллим из Южной Кореи он под конец схватки пропустил бросок и стал пятым[15].
В сентябре 2021 года Рустам Оруджев был назначен председателем комиссии атлетов Национального олимпийского комитета Азербайджана[16].
В мае 2023 года Оруджев вошёл в Комиссию атлетов Европейского союза дзюдо (ЕJU)[17]. 8 августа 2023 года объявил о завершении карьеры дзюдоиста[18][19].
