Андрей Нестрашил начал хоккейную карьеру в 2005 году, на протяжении трёх сезонов выступал за юниорские команды пражской «Славии». В 2008 году перебрался за океан, три года играл в главной юниорской хоккейной лиге Квебека. В 2011 году подписал контракт с клубом НХЛ «Детройт Ред Уингз». Сначала играл в АХЛ, в фарм-клубе «Детройта» «Гранд-Рапидс Гриффинс». В сезоне 2014/15 дебютировал в НХЛ за «Детройт». По ходу сезона был обменян в «Каролину Харрикейнз». После тяжелой травмы позвоночника в 2016 году, Нестрашил играл в НХЛ уже не столь результативно, как раньше. Летом 2017 года перешёл в нижнекамский «Нефтехимик»[1]. После двух сезонов в Нижнекамске решил вернуться в НХЛ, но так и не дождался предложений. Начал сезон в чешской Экстралиге за «Оцеларжи Тршинец»[2], уже после двух матчей в Экстралиге вновь перебрался в Россию, подписав контракт с магнитогорским «Металлургом»[3]. В КХЛ Нестрашил играл до конца сезона 2020/21. Летом 2021 года подписал контракт с действующим чемпионом Чехии, клубом «Оцеларжи».