Множество сумм — концепт аддитивной комбинаторики, соответствующий сумме Минковского конечных множеств.

Пусть ${\displaystyle {\mbox{G}}}$ — любая группа, ${\displaystyle A,B\subset {\mbox{G}}}$ — конечные множества. Тогда их суммой называется множество

${\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A,\ b\in B\}}$

Для одного множества ${\displaystyle A}$ его множеством сумм называют ${\displaystyle A+A}$. Кратные суммы обозначаются сокращённо^[1]

${\displaystyle kA=A+\dots +A=\{a_{1}+\dots +a_{k}:a_{i}\in A,\ i=1,\dots ,k\}}$

Аналогично определяются множество разностей, множество произведений, множество частных и тому подобные для любой операции. Например, множество произведений определяется так^[2]:

${\displaystyle A\times B=\{ab\ :\ a\in A,\ b\in B\}}$

Величину ${\displaystyle K(A)={\frac {|A+A|}{|A|}}}$ называют константой удвоения^[3], а про множества, у которых она ограничена, говорят, что они имеют малое удвоение^[4]. В связи с теоремой сумм-произведений часто рассматривают множества с малым мультипликативным удвоением, то есть для которых ограничена величина ${\displaystyle {\frac {|AA|}{|A|}}}$^[5].

Мощность множества сумм ${\displaystyle A+B}$ связана с аддитивной энергией ${\displaystyle E(A,B)}$ неравенством ${\displaystyle |A+B|E(A,B)\leq |A|^{2}|B|^{2}}$^[6], поэтому последняя часто используется для её оценки.

Теорема Фреймана рассматривает размер ${\displaystyle A+A}$ как показатель структурированности множества (если константа удвоения ограничена, то структура ${\displaystyle A}$ похожа на обобщённую арифметическую прогрессию).^[7][8]

Теорема сумм-произведений связывает размер множества сумм и множества произведений. Основная гипотеза гласит, что ${\displaystyle \max\{|A+A|,\ |AA|\}\geq |A|^{2-o(1)}}$ для ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$.^[9] Сочетание суммирования и произведения в одном выражении привело к возникновению арифметической комбинаторики.

Изучается влияние поэлементного применения выпуклой функции к суммируемым множествам на размер множества сумм. Для выпуклых последовательностей известны нижние оценки на ${\displaystyle |A+A|}$ и ${\displaystyle |A-A|}$.^[10] Более общо, для выпуклой функции ${\displaystyle f}$ и множества ${\displaystyle f(A):=\{f(a):a\in A\}}$ задачу оценки ${\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A)+f(A)|\}}$ и некоторые похожие иногда рассматривают как обобщение теоремы сумм-произведений, поскольку ${\displaystyle AA=\exp \left({\log A+\log A}\right)}$ и поэтому ${\displaystyle |AA|=|\log A+\log A|}$, а функция ${\displaystyle \exp }$ выпукла.^[11]

Неравенство Плюннеке — Ружа утверждает, что разрастание (увеличение размера относительно складываемых множеств) кратных сумм ${\displaystyle |kA+lB|,\ k,l\in {\mathbb {N} }}$ в среднем (относительно ${\displaystyle k,l}$) не сильно превышает разрастание ${\displaystyle |A+B|}$.

Неравенство треугольника Ружа связывает размеры ${\displaystyle A-B,\ B-C,\ C-A}$ для любых множеств ${\displaystyle A,B,C}$ и показывает, что нормализованный размер разности множеств ${\displaystyle {\frac {|A-B|}{\sqrt {|A||B|}}}}$ можно рассматривать как псевдометрику, отражающую близость структуры этих множеств.^[12]

Один из фундаментальных вопросов аддитивной комбинаторики: какую структуру могут или должны иметь множества сумм. По состоянию на начало 2020 года не известно какого-либо нетривиально быстрого алгоритма, позволяющего определить, представимо ли заданное большое множество в виде ${\displaystyle A+B,\ (|A|,|B|\geq 2)}$ или ${\displaystyle A+A,\ |A|\geq 2}$. Однако известны некоторые частные результаты о структуре множеств сумм.

Например, множества сумм вещественных чисел не могут иметь малого мультипликативного удвоения, то есть если ${\displaystyle A=B+C}$, то ${\displaystyle |AA|\geq |A|^{1+c}}$ для некоторого ${\displaystyle c>0}$.^[13] А в группе вычетов по простому модулю ${\displaystyle p}$ есть лишь ${\displaystyle 2^{\left({{\frac {1}{2}}+o(1)}\right)p}}$ множеств, представимых в виде ${\displaystyle A+B,\ |A|,|B|\to \infty }$.^[14][15]

Известно, что если ${\displaystyle A,B}$ — плотные множества натуральных чисел, то ${\displaystyle A+B}$ содержит длинные арифметические прогрессии.^[16] Тем не менее, в ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{p}}$ известны примеры плотных множеств с сильной верхней оценкой на длину таких прогрессий.^[17][18]

• Сумма Минковского
• Теорема сумм-произведений
• Теорема Фреймана
• Теорема Шнирельмана

• Фрейман, Григорий Абелевич. Начала структурной теории множеств (рус.). — Типография "Татполиграф". — 1966.

• T. Tao, Van H. Vu. Additive combinatorics (англ.). — Cambridge University Press. — 2006. — ISBN 0-511-24530-0.

• И. Д. Шкредов. Несколько новых результатов о старших энергиях (рус.) // Труды Московского математического общества. — 2013. — Т. 74, вып. 1. — С. 35—73.

• Paul Erdős, Endre Szemerédi. On sums and products of integers (англ.) // Studies in Pure Mathematics. — 1983. — P. 213—218.

• George Shakan. On higher energy decompositions and the sum-product phenomenon (англ.) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 2019. — Vol. 167, iss. 3. — P. 599—617.

• Ilya D. Shkredov, Dmitrii Zhelezov. On additive bases of sets with small product set (англ.). — 2016. — arXiv:math/1606.02320.

• B. Green. Arithmetic progressions in sumsets (англ.) // Geometric & Functional Analysis GAFA. — 2002. — Vol. 12. — P. 584—597.

• Ernie Croot, Izabella Laba, Olof Sisask. Arithmetic Progressions in Sumsets and ${\displaystyle L^{p}}$-Almost-Periodicity (англ.) // Combinatorics, Probability and Computing. — 2013. — Vol. 22, iss. 3. — P. 351—365.

• N. Alon, A. Granville, A. Ubis. The number of sumsets in a finite field (англ.) // Bulletin of the London Mathematical Society. — 2010. — Vol. 42, iss. 4.

• Imre Z. Ruzsa. Arithmetic progressions in sumsets (англ.) // Acta Arithmetica. — 1991. — Vol. 60, iss. 2. — P. 191—202.

• J. Bourgain. On arithmetic progressions in sums of sets of integers (англ.) // A Tribute to Paul Erdos. — 1990. — P. 105—110.

• Ernie Croot, Imre Z. Ruzsa, Tomasz Schoen. Arithmetic progressions in sparse sumsets (англ.). — 2007.

• I. D. Shkredov, T. Schoen. On sumsets of convex sets (англ.) // Combinatorics, Probability and Computing. — 2011. — P. 793—798. — arXiv:math/1105.3542.

• G. Elekes, M. B. Nathanson, I. Z. Ruzsa. Convexity and Sumsets (англ.) // Journal of Number Theory. — 2000. — Vol. 83, iss. 2. — P. 194—201.