После окончания средней школы работал учителем в селе Кишалы Атюрьевского района. В 1939 году Махров был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную армию. Член ВКП(б) с 1941 года. В 1941 году окончил Бобруйское военное автотракторное училище, в 1942 году — курсы усовершенствования командного состава. С июня 1942 года — на фронтах Великой Отечественной войны. В боях дважды был ранен[1].
К октябрю 1943 года лейтенант Алексей Махров командовал танковой ротой 181-й танковой бригады (18-го танкового корпуса, 5-й гвардейской танковой армии, 2-го Украинского фронта). Отличился во время освобождения Днепропетровской области Украинской ССР. В октябре 1943 года рота Махрова принимала активное участие в боях за освобождение станции Зелёное и деревни Зелёный ЛугПятихатского района. В боях на подступах к Кривому Рогу подбил 2 тяжёлых танка. Всего в тех боях Махров со своим экипажем уничтожил 4 танка, 3 самоходных артиллерийских орудия, 2 бронетранспортёра, несколько десятков солдат и офицеров противника, сам был ранен, но продолжал сражаться[1].
После окончания войны Махров продолжил службу в Советской армии. В 1965 году в звании подполковника был уволен в запас. Проживал в Риге, работал инженером. Скончался 16 января1979 года[1]. Похоронен на кладбище Райниса.
Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. коллегии И. Н. Шкадов. — М.: Воениздат, 1988. — Т. 2 /Любов — Ящук/. — 863 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-203-00536-2.
Воробьёв В. П., Ефимов Н. В. Герои Советского Союза: Справочник / СПб., 2010.
Дорогами побед. Боевой путь 5 гв. ТА / М.: Воениздат, 1969.