Родился в семье театральных актёров Карла Мидке[нем.] и его жены Шарлотты (1781—1806). После смерти матери был, с согласия отца, усыновлён Иоганном Баптистом Кребсом, который дал ему свою фамилию и стал его первым педагогом. Далее учился у Иоганна Непомука Шельбле[нем.] и Игнаца фон Зайфрида, дебютировал как концертный пианист в шестилетнем возрасте. В 1825 года с большим успехом выступал в Вене как пианист, после чего был назначен третьим дирижёром Венской придворной оперы. С 1827 года работал капельмейстером в Гамбурге, а в 1850 году сменил Рихарда Вагнера на посту капельмейстера Дрезденской оперы и занимал этот пост до 1871 года, после чего полностью посвятил себя церковной музыке
В композиторском наследии Кребса — оперы, из которых наиболее важна «Агнесса Бернауэр» (1858), вокальные сочинения, фортепианная музыка.
