Окончил 6-ю Тифлисскую гимназию в 1919 году. В гимназические годы переписывался с известным египтологом академиком Б. А. Тураевым. В 1920—1922 годах учился в Политехническом институте в Тифлисе. Был призван в Красную Армию и прослужил там до 1924 года. Затем служил в торговом флоте. В 1929 году вступил в ряды Коммунистической партии.
В 1934 году окончил заочно исторический факультет Азербайджанского университета. В 1935 был приглашён академиком В. В. Струве на научную работу в Институт востоковедения. Защитил кандидатскую диссертацию «Рабство в Египте в эпоху XVI династии» (1939); в 1943 году — докторскую диссертацию «Письмо и язык древнего Египта. (Опыт культурно-исторического исследования)». С 1943 года — учёный секретарь Института истории АН СССР в Москве, с 1944 года — профессор.
В 1944 направлен в Египет в качестве корреспондента ТАСС и представителя АН СССР по гуманитарным наукам. За попытку бежать в Англию был арестован 19 августа 1947 и доставлен в СССР; 29 мая 1948 года осуждён по ст. 58-1а УК РСФСР на 25 лет исправительно-трудовых лагерей. Досрочно освобождён после пересмотра дела (20 января 1955). Работал старшим научным сотрудником ИВ АН СССР (Москва); с 1965 года заведовал отделом Древнего Востока. С 1974 года — действительный член АН СССР по Отделению истории (история зарубежного Востока). Почётный член Французского египтологического общества и Египтологического института в Праге.
Умер в Москве, похоронен на Новом Донском кладбище, рядом с Общей могилой жертв репрессий № 3.
Путешествие Ун-Амуна в Библ. Египетский иератический папирус № 120 ГМИИ им. А. С. Пушкина в Москв / Пер. М. А. Коростовцева. — М.: ИВЛ, 1960. — 134 с. — (Памятники литературы народов Востока. Тексты. Большая серия).
↑Указ Президиума Верховного Совета СССР от 22 апреля 1980 года № 1939—Х «О награждении академика Коростовцева М. А. орденом Дружбы народов» // «Ведомости Верховного Совета Союза Советских Социалистических Республик». — № 18 (2040) от 30 апреля 1980 года. — Ст.334.
Коростовцев Михаил Александрович [некролог] // Вопросы истории. 1980. № 12;
История и культура древнего и раннехристианского Египта: материалы научной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения М. Э. Матье и М. А. Коростовцева (13-15 декабря 2000 г.). М., 2001;
Милибанд С. Д. Востоковеды России. XX — начало XXI в.: Биобиблиографический словарь. М., 2008. Т. 1;
Ладынин И. А., Тимофеева Н. С. Египтолог М. А. Коростовцев и его инициатива по созданию научного представительства СССР в Египте // Исторические записки, М., 2014, т. 15, с. 358—382.