Компактификация

Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные.

Формально компактификация пространства ${\displaystyle X}$ определяется как пара ${\displaystyle (Y,\;f)}$, где ${\displaystyle Y}$ компактно, ${\displaystyle f:X\to Y}$ вложение такое, что ${\displaystyle f(X)}$ плотно в ${\displaystyle Y}$.

• Вещественная проективная плоскость является одной из компактификаций Евклидовой плоскости. Другая её (одноточечная) компактификация гомеоморфна сфере.

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть ${\displaystyle Y=X\cup \{\infty \}}$ и открытыми множествами в ${\displaystyle Y}$ считаются все открытые множества ${\displaystyle X}$, а также множества вида ${\displaystyle O\cup \{\infty \}}$, где ${\displaystyle O\subseteq X}$ имеет замкнутое и компактное (в ${\displaystyle X}$) дополнение. ${\displaystyle f}$ берётся как естественное вложение ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle (Y,\;f)}$ тогда компактификация, причём ${\displaystyle Y}$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ хаусдорфово и локально компактно.

• ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны.
  • В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$.
  • Аналогично, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$ гомеоморфно ${\displaystyle n}$-мерной сфере.

На компактификациях некоторого фиксированного пространства ${\displaystyle X}$ можно ввести частичный порядок. Положим ${\displaystyle f_{1}\leqslant f_{2}}$ для двух компактификаций ${\displaystyle f_{1}:X\to Y_{1}}$, ${\displaystyle f_{2}:X\to Y_{2}}$, если существует непрерывное отображение ${\displaystyle g:Y_{2}\to Y_{1}}$ такое, что ${\displaystyle gf_{2}=f_{1}}$. Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха^[1] и обозначается ${\displaystyle \beta X}$. Для того, чтобы у пространства ${\displaystyle X}$ существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle X}$ удовлетворяло аксиоме отделимости ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$, то есть было вполне регулярным.