Проживал в Саратове (1929—1949 гг.), временно в Курске (1938—1939 гг.), с 1949 года жил и работал в Москве.
С 1944 года проводились конкурсы на проект памятника В. В. Маяковскому в Москве. Александр Кибальников участвовал в нём наряду с Вучетичем, Манизером, Коненковым и другими. Выставка проектов проводилась в Историческом музее, проект Кибальникова был принят к постройке и завершён в 1958 году. Также Кибальников изготовил несколько портретов Маяковского, один из которых был отлит в бронзе и установлен на могиле поэта на Новодевичьем кладбище[1], другой — на станции метро «Маяковская».
Следующей крупной работой стал памятник Сергею Есенину на его родине в Рязани (1975)[1].
Два десятка лет, от небольшого мраморного портрета в 1961 году, Кибальников вынашивал замысел гранитного памятника П. Третьякову перед зданием Третьяковской галереи. Замысел был воплощён в 1980 году. Кибальникову удалось вписать статую в архитектурное окружение, найти верный масштаб и хороший вид с нескольких точек[1].
В творчестве скульптора неоднократно встречается мотив появления скульптурного портрета из грубо сколотого камня, как, например, в мраморном портрете дочери («Пробуждение»), гранитном бюсте А. Н. Радищева в Саратове, мраморном портрете Третьякова, полуфигуре Есенина и др.
В Саратове, на доме, в котором в 1951—1958 годах жил А. П. Кибальников (ул. М. Горького, 19), установлена мемориальная доска.[источник не указан 804 дня]