Кеплерова задача

О задаче плотнейшей упаковке шаров см. Гипотеза Кеплера.

В классической механике, задача Кеплера — частный случай задачи о движении в центральном поле, в которой тело взаимодействует с внешним полем посредством центральной силы , изменяющейся по величине обратно пропорционально квадрату расстояния между телом и неким центром О. Сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Задача состоит в нахождении зависимости координат или скоростей тел от времени при заданных массах и начальных значениях скоростей и координат. Решение можно выразить через кеплеровы орбиты, используя шесть элементов орбит.

Задача названа в честь Иоганна Кеплера, который предложил законы Кеплера движения планет (являющиеся частью классической механики и позволяющие решить задачу Кеплера для орбит планет) и исследовал типы сил, которые должны приводить к существованию орбит, удовлетворяющих законам Кеплера (так называемая обратная задача Кеплера).

Приложения

Задача Кеплера возникает во многих физических ситуациях и была частично изучена ещё самим Кеплером. Задача Кеплера важна для небесной механики, теории тяготения Ньютона, базирующейся на законе обратных квадратов. Примеры включают движение спутников вокруг планет, движение планет вокруг их солнц, движение двойных звёзд вокруг друг друга. Задача Кеплера также важна для случая движения двух заряженных частиц, между которыми действуют силы Кулона, также подчиняющиеся закону обратных квадратов. В качестве примера можно привести атом водорода, позитроний и мюоний, — эти случаи играют важную роль в моделировании систем для проверки физических теорий и измерения физических констант.

Задача Кеплера и задача простого гармонического осциллятора являются двумя наиболее фундаментальными задачами классической механики. Это единственные два случая, траектория объекта в которых является замкнутой, то есть объект возвращается в ту же начальную точку с той же самой скоростью (см. Задача Бертрана). Часто задача Кеплера используется для развития новых методов классической механики, таких как лагранжева механика, гамильтонова механика, уравнение Гамильтона — Якоби, переменные действие — угол. Задача Кеплера сохраняет вектор Лапласа — Рунге — Ленца, который был обобщён для других взаимодействий. Решение кеплеровой задачи позволяет показать, что движение планет может быть исчерпывающим образом описано законами классической механики и классической теорией тяготения Ньютона; научное объяснение движения планет сыграло важную роль в распространении просвещения.

Математическая постановка

Имеется центральная сила , действующая на два тела, которая изменяется по величине по закону обратных квадратов в зависимости от расстояния между телами:

,

где  — постоянная (для сил гравитационного притяжения , для кулоновских ) и представляет собой единичный вектор, направленный по радиус-вектору из центра поля. Сила может быть как притягивающей (), так и отталкивающей (). , и , — массы и заряды взаимодействующих тел, гравитационная постоянная, — фактор в законе Кулона.

Соответствующая потенциальная энергия поля () записывается:

.

Требуется определить характер и параметры движения. Часто предполагается, что одно из тел имеет значительно меньшую массу, чем другое () — и более массивное тело считается неподвижным. Тогда, по существу, рассматривается движение более лёгкого тела в центральном поле более тяжёлого.

Решение задачи Кеплера

Рассмотрим движение частицы массой в центрально-симметричном поле притяжения вида

,

где — положительная константа, — расстояние частицы от силового центра.

Известно, что момент импульса частицы относительно центра сохраняется[1]. Учитывая отсутствие диссипативных сил и стационарность потенциальной энергии (независимость от времени), получаем интегралы движения:

,

где — скорость, — радиус-вектор частицы относительно центра поля, — момент импульса частицы, — полная механическая энергия системы.

Запишем выражения для модуля момента импульса, учитывая, что вектор момента импульса перпендикулярен плоскости, в которой происходит движение:

.

Учитывая, что радиус-вектор и радиальная составляющая скорости коллинеарны, а между радиус-вектором и трансверсальной составляющей скорости угол равен , получаем

.

Выразим угловую скорость частицы и подставим в выражение для полной механической энергии системы[2]:

.
Зависимость эффективного потенциала от радиуса () и минимальный/максимальный радиусы при разных полных энергиях

Введём обозначение «эффективной» потенциальной энергии

и выразим радиальную скорость:

,

На рисунке показан профиль эффективного потенциала. В точках наименьшего и наибольшего удаления от силового центра имеет место и, соответственно, .

Получаем возможность связать диапазон изменения длины радиус-вектора траектории тела с запасённой им энергией[3][4]. Так при минимальной энергии тело движется по круговой орбите с радиусом . Если энергия движения тела больше, скажем равна , траектория тела будет эллиптической с малой полуосью и большой . Наконец, при энергии тела разойдутся, сблизившись на минимальное расстояние .

Методом разделения переменных получаем выражение для дифференциала времени:

;
Траектории движения частицы в центральном поле при различных значениях полной механической энергии

используя полученное ранее выражение для момента импульса получаем выражаем дифференциал угла и подставляем полученный выше дифференциал времени :

.

Подставляя выражение для потенциальной энергии и интегрируя, получаем явную зависимость :

,

где и ,

перепишем полученную формулу для траектории:

;

в итоге мы пришли к уравнению конического сечения[5], где — параметр, а эксцентриситет орбиты.

Из полученных результатов можно сделать следующий вывод: при эксцентриситет , то есть траектория частицы представляет собой эллипс, при эксцентриситет траектория — парабола, при эксцентриситет траектория — гипербола[6].

См. также

Примечания

  1. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков / под ред. Ю. М. Лоскутова. — М.: Наука, 1970. — С. 58-59. — 448 с.
  2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика / под ред. Л. П. Питаевского. — М.: Физматлит, 2021. — С. 45-57. — 224 с. — ISBN 978-5-9221-1611-4.
  3. Klaus Dransfeld, Paul Kleine, Georg Michael Kalvius Physik I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH 2001 ISBN 3-486-25416-2
  4. Peter Rennert, Herbert Schmiedel Physik. Wissenschaftsverlag. Leipzig, Mannheim, Zürich 1995. ISBN 3-411-15821-2
  5. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит, 2019. — С. 165-167. — 224 с. — ISBN 978-5-9221-1746-3.
  6. Иродов И. Е. Механика. Основные законы. — М.: Лаборатория знаний, 2019. — С. 295-297. — 309 с. — ISBN 978-5-00101-181-1.


Read other articles:

Gerd AnderssonLahir11 Juni 1932 (umur 91)Stockholm, SwediaPekerjaanPemeran; penari baletTahun aktif1951-1989 Gerd Gunvor Andersson (lahir 11 Juni 1932) adalah pemeran film asal Swedia.[1] Ia lahir di Stockholm, Swedia dan merupakan saudari dari Bibi Andersson dan ibu dari Lars Bethke. Filmografi pilihan Summer Interlude (1951) Secrets of Women (1952) Fanny and Alexander (1982) Referensi ^ Gerd Andersson. Swedish Film Database. Diarsipkan dari versi asli tanggal 4 March 2016...

 

Citroën AXInformasiProdusenCitroënJuga disebut Proton TiaraMasa produksi1986–1998 (2,425,138 unit) 1996-2000 (sebagai Tiara)Perakitan Rennes (PSA Rennes Plant) Vigo (PSA Vigo Plant) Mangualde (PSA Mangualde Plant) Koper (Cimos) Pekan, Pahang (AMM) (1996-2000, sebagai Proton Tiara)Bodi & rangkaKelasSupermini (Segmen B)Bentuk kerangkaHatchback 3-pintu Hatchback 5-pintuTata letakMesin depan, FWD/4-WDPenyalur dayaMesin1.0 L I4 (bensin)1.1 L I4 (bensin)1.3 L I4 (be...

 

Telve commune di Italia Telve (it) Tempat categoria:Articles mancats de coordenades Negara berdaulatItaliaRegion otonom dengan status khususTrentino-Tirol SelatanProvinsi di ItaliaTrentino NegaraItalia Ibu kotaTelve PendudukTotal1.906  (2023 )GeografiLuas wilayah64,75 km² [convert: unit tak dikenal]Ketinggian548 m Berbatasan denganBaselga di Pinè Borgo Valsugana Carzano Castello-Molina di Fiemme Castelnuovo Palù del Fersina Pieve Tesino Scurelle Telve di Sopra Valfloriana Sejarah...

Listes de films français ◄◄ 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 ►► Liste non exhaustive de films français sortis en 1937. 1937 Titre Réalisateur Distribution Genre Notes À minuit, le 7 Maurice de Canonge Paul Bernard, Colette BroïdoRaymond Cordy Policier À nous deux, madame la vie René GuissartYves Mirande André Luguet, Simone Berriau,Jean-Louis Barrault Drame À Venise, une nuit Christian-Jaque Albert Préjean, Elvire Popesco,Marcel Mouloudji Comédie Abus de confia...

 

Chemical compound DistigmineDistigmine bromideClinical dataRoutes ofadministrationBy mouth, i.m.ATC codeN07AA03 (WHO) Pharmacokinetic dataBioavailability4.65% [1]Elimination half-life65 h [1]Excretionrenal [1]Identifiers IUPAC name (1-methylpyridin-1-ium-3-yl) N-methyl-N-{6-[methyl-(1-methylpyridin-1-ium-3-yl)oxycarbonylamino]hexyl}carbamate dibromide CAS Number17299-00-2 Ybromide: 15876-67-2 YPubChem CID27522ChemSpider25613 YUNI...

 

Overview of mass media in Russia This article needs to be updated. Please help update this article to reflect recent events or newly available information. (March 2022) Part of a series on theCulture of Russia Society Russians Ethnic groups Folklore History Immigration Languages Holidays Religion Traditions Topics Art Architecture Cinema Cuisine Dance Festivals Literature Media Newspapers Internet Radio Television Music Painting Sports Theatre Video gaming Symbols Flag Coat of arms Anthem Wor...

American politician (born 1959) This article may be in need of reorganization to comply with Wikipedia's layout guidelines. Please help by editing the article to make improvements to the overall structure. (February 2021) (Learn how and when to remove this template message) Jeff MillerChair of the House Veterans' Affairs CommitteeIn officeJanuary 3, 2011 – January 3, 2017Preceded byBob FilnerSucceeded byPhil RoeMember of the U.S. House of Representativesfrom Florida's 1...

 

1811 battle during the Peninsular War Battle of SabugalPart of the Peninsular WarA contemporary sketch of the battlefieldDate3 April 1811[1]LocationSabugal, Portugal40°21′N 7°05′W / 40.350°N 7.083°W / 40.350; -7.083Result Anglo-Portuguese victory[1]Belligerents  French Empire  United Kingdom PortugalCommanders and leaders André Masséna Arthur Wellesley Sir William ErskineStrength 12,000[1] 10,000[1]Casualties and...

 

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字が含まれています(詳細)。 数字の大字(だいじ)は、漢数字の一種。通常用いる単純な字形の漢数字(小字)の代わりに同じ音の別の漢字を用いるものである。 概要 壱万円日本銀行券(「壱」が大字) 弐千円日本銀行券(「弐」が大字) 漢数字には「一」「二」「三」と続く小字と、「壱」「�...

Soewoto Sukendar Kepala Staf TNI Angkatan Udara ke-5Masa jabatan10 November 1969 – 28 Maret 1973PresidenSoehartoPendahuluRoesmin NoerjadinPenggantiSaleh Basarah Informasi pribadiLahir(1927-03-12)12 Maret 1927Malang, Jawa Timur, Hindia BelandaMeninggal30 Mei 1987(1987-05-30) (umur 60)Semarang, Jawa TengahKebangsaanIndonesiaProfesiTentaraKarier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan UdaraMasa dinas1949—1973Pangkat Marsekal TNINRP475307[1]SatuanKo...

 

† Палеопропитеки Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:СинапсидыКласс:�...

 

For the major railway station in Okayama Prefecture, see Okayama Station. Railway station in Tokyo, Japan MG06 OM08Ōokayama Station大岡山駅General informationLocation3-27-1 Kita-senzoku, Ōta Ward, TokyoJapanOperated by Tōkyū RailwaysLine(s) MG Meguro Line OM Ōimachi Line Platforms2 island platformsTracks4ConstructionStructure typeUndergroundOther informationStation codeMG06, OM08HistoryOpened6 July 1927; 96 years ago (1927-07-06)Services Preceding station Tōkyū Ra...

  لمعانٍ أخرى، طالع ألما (توضيح). ألما   الاسم الرسمي (بالإنجليزية: Alma)‏    الإحداثيات 40°06′03″N 99°21′45″W / 40.100833333333°N 99.3625°W / 40.100833333333; -99.3625   [1] تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[2][3]  التقسيم الأعلى مقاطعة هارلان  عاصمة لـ مقاطع�...

 

بيانات وصفيةمعلومات عامةصنف فرعي من بياناتsecondary information (en) كائن اصطناعي جزء من metainformation system (en) البداية 1969[1] الجوائز  جوائز الأخ الأكبر (2014) ممثلة بـ metadata scheme (en) تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات البيانات الوصفية[2] أو المعلومات الوصفية[3] أو المعطيات الوصفي�...

 

2019–20 UEFA Futsal Champions LeagueThe Palau Blaugrana in Barcelona hosted the final tournamentTournament detailsDatesQualifying rounds:27 August – 24 November 2019Final tournament:9–11 October 2020TeamsFinal tournament: 4Total: 57 (from 53 associations)Final positionsChampions Barcelona (3rd title)Runners-up ElPozoThird place KPRFFourth place TyumenTournament statisticsMatches played124Goals scored856 (6.9 per match)Top scorer(s)Season total: Renan Roberto Mantelli (16 ...

Place in Pomeranian Voivodeship, PolandLęborkNeo-gothic City Hall FlagCoat of armsMotto(s): Miasto z Europejską klasąCity with European classLęborkShow map of Pomeranian VoivodeshipLęborkShow map of PolandCoordinates: 54°33′N 17°45′E / 54.550°N 17.750°E / 54.550; 17.750Country PolandVoivodeship PomeranianCountyLębork CountyGminaLębork (urban gmina)Town rights1341Government • MayorWitold Namyślak (PO)Area • Total17....

 

Prambanan beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Prambanan (disambiguasi). Candi Prambananꦕꦟ꧀ꦝꦶꦥꦿꦩ꧀ꦧꦤꦤ꧀Caṇḍi PrambananCandi PrambananAgamaAfiliasiHinduProvinsiDaerah Istimewa Yogyakarta dan Jawa TengahDewaTrimurti (Brahma, Wisnu, dan SiwaFestivalNyepiBadan pengelolaBalai Pelestarian Cagar Budaya Daerah Istimewa YogyakartaBalai Pelestarian Cagar Budaya Jawa TengahPT Taman Wisata Candi Borobudur, Prambanan, dan Ratu BokoStatusMasih digunakanLokasiLokasi...

 

Classical Japanese dance-drama This article is about Japanese theater. For American political pretense, see Kabuki dance. For other uses, see Kabuki (disambiguation). The July 1858 production of Shibaraku at the Ichimura-za theater theatre in Edo. Triptych woodblock print by Utagawa Toyokuni III. Onoe Kikugorō VI as Umeō-maru in Sugawara Denju Tenarai Kagami Kabuki (歌舞伎, かぶき) is a classical form of Japanese theatre, mixing dramatic performance with traditional dance. Kabuki thea...

American football coach (born 1962) For other people named Rob Ryan, see Robert Ryan (disambiguation). American football player Rob RyanRyan in 2019Las Vegas RaidersPosition:Senior defensive assistantPersonal informationBorn: (1962-12-13) December 13, 1962 (age 61)Ardmore, Oklahoma, U.S.Career informationHigh school:Stevenson(Lincolnshire, Illinois)College:Southwestern Oklahoma StateCareer history As a coach: Western Kentucky (1987)Assistant coach Ohio State (1988)Outside linebackers coa...

 

المرحلة المبكرة لانفصال لوراسيا عن غندوانا قبل نحو 200 مليون سنة. قارة بانجيا ؛ قبل 250 مليون سنة. غندوانا[1] هو القسم الجنوبي من قارة عظيمة بدائية كانت توجد في الحقبة الجيولوجية الوسطى (بين 200 مليون سنة و65 مليون سنة) .[2][3][4] كانت اليابسة قبل ذلك مجتمعة في قارة عظم...