Участвовал в советско-финской войне. Был военным комиссаром 3-й эскадрильи 58-го скоростного бомбардировочного авиаполка 55-й скоростной бомбардировочной авиабригады ВВС 7-й армии Северо-Западного фронта. Совершил 23 боевых вылета[3].
26 декабря1939 года в районе н.п. Нильпя эскадрилья Квашнина разгромила колонну противника. В декабре 1939 года одним из первых в полку был награждён медалью «За отвагу»[3].
21 марта1940 года старший политрук Квашнин Иван Фирсович был удостоен звания Герой Советского Союза посмертно[2].
Командование писало о нём:
«Тов. Квашнин был любимым комиссаром в эскадрилье и полку. Его гибель вызвала среди личного состава ещё большую ненависть к врагу. Память о бесстрашном комиссаре, отлично владевшем лётным делом, будет вечно жить и звать на подвиги»[4].
↑ 12Квашнин Иван Фирсович (неопр.). Известные вологжане. Официальный портал Правительства Вологодской области. Дата обращения: 11 октября 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
↑ 12Владимирович А. Г., Ерофеев А. Д.Левашовский проспект (неопр.). Энциклопедия Санкт-Петербурга. Энциклопедии & Словари (2009). Дата обращения: 11 октября 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.