Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

• Пусть функция ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ и дифференцируема в ней: ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$.

Касательным вектором к графику функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется вектор с компонентами

• ${\displaystyle {\vec {e}}={\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}\cdot {\vec {e}}_{x}+{\frac {f'(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}\cdot {\vec {e}}_{y}}$.

• Если функция ${\displaystyle f}$ имеет в точке ${\displaystyle x_{0}}$ бесконечную производную ${\displaystyle f'(x_{0})=\pm \infty ,}$ то касательный вектор

  ${\displaystyle {\vec {e}}={\vec {e}}_{y}}$.

Касательным вектором к гладкому многообразию ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle p\in M}$ называется оператор ${\displaystyle X}$, сопоставляющий каждой гладкой функции ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ число ${\displaystyle Xf}$ и обладающий следующими свойствами:

• аддитивность: ${\displaystyle X(f+h)=Xf+Xh,}$
• правило Лейбница: ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).}$

Множество всех таких операторов в точке ${\displaystyle p}$ имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

${\displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf;}$

${\displaystyle (k\cdot X)f=k\cdot (Xf),\ \forall k\in \mathbb {R} }$.

Совокупность всех касательных векторов в точке ${\displaystyle p}$ образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке ${\displaystyle p}$. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rⁿ. Пусть в Rⁿ задан гладкий путь ${\displaystyle \mathbf {f} \colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \mathbf {f} (t)=f_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)\mathbf {e} _{2}+\dots +f_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}$.

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь ${\displaystyle \mathbf {l} (t)}$, который его касается в момент времени t₀:

${\displaystyle \mathbf {l} (t)=\mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})\left({\partial f_{1} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{1}+{\partial f_{2} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{2}+\dots +{\partial f_{n} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{n}\right)}$.

Касание двух путей ${\displaystyle \mathbf {f} _{1}(t)}$ и ${\displaystyle \mathbf {f} _{2}(t)}$ означает, что ${\displaystyle \mathbf {f} _{1}(t)-\mathbf {f} _{2}(t)=o(t-t_{0})}$; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x₀ можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x₀ в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор в точке ${\displaystyle p}$ гладкого подмногообразия ${\displaystyle M}$ евклидова пространства — вектор скорости в точке ${\displaystyle p}$ некоторой кривой в ${\displaystyle M}$.

Иначе говоря, касательный вектор в точке ${\displaystyle p}$ подмногообразия, локально заданного параметрически

${\displaystyle r\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ с ${\displaystyle p=r(0)\ }$,

есть произвольная линейная комбинация частных производных ${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}(0)}$.

• Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости ${\displaystyle C^{1}}$.
• Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.