Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$.

Наиболее распространено следующее определение ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ (см. график):

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\mathrm {v.p.} \int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\gamma +\operatorname {ln} |x|+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\in \mathbb {R} ,\;(1)}$

где ${\displaystyle \gamma }$ есть постоянная Эйлера-Маскерони. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом^[1]

${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\gamma +\operatorname {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z)|<\pi ,\;(2)}$

Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от ${\displaystyle z}$, но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку ${\displaystyle t=0}$, в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно ${\displaystyle 1/t}$. Таким образом, функция ${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)}$ является многозначной, а особая точка ${\displaystyle z=0}$ является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией ${\displaystyle \operatorname {ln} z}$, различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном ${\displaystyle z}$) кратно ${\displaystyle 2\pi i}$.

Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$, соответствующую главной ветви ${\displaystyle \operatorname {ln} }$ в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для ${\displaystyle \operatorname {ln} z}$ (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции ${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)}$. Фиксируем также и главную ветвь аргумента: ${\displaystyle -\pi <\operatorname {arg} z\leq \pi }$ и далее будем считать, что ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ и элементарные функции.^[1]

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что ${\displaystyle b>0}$)

${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+iz}}={\begin{cases}-e^{bz}\operatorname {Ei} (-bz),&\operatorname {arg} z\not \in [\pi /2,\pi ],\\-e^{bz}\left[\operatorname {Ei} (-bz)-2\pi i\right],&\operatorname {arg} z\in (\pi /2,\pi ).\end{cases}}\;(2)}$

Из (2) следует, что при вещественных значениях ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {1}{2}}\left[e^{|by|}\operatorname {Ei} (-|by|)+e^{-|by|}\operatorname {Ei} _{1}(|by|)\right],\;(3)}$

где ${\displaystyle \operatorname {Ei} _{1}}$ есть т. н. модифицированная интегральная показательная функция^[1]:

${\displaystyle \operatorname {Ei} _{1}(y)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Ei} (y+i0)+\operatorname {Ei} (y-i0)\right]=\gamma +\operatorname {ln} y+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {y^{n}}{n!\cdot n}},\;y>0,\;\operatorname {Ei} _{1}(y)\in \mathbb {R} .\;(4)}$

Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию ${\displaystyle \operatorname {Ei} _{1}}$ обозначают символом ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$, что может приводить к ошибкам.

При получении результата (3) было использовано значение интеграла

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2}}}={\frac {\pi }{2}}\operatorname {exp} [-bz\operatorname {sign} \Im z],\;b>0.}$

Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle y}$. Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$] символа ${\displaystyle \operatorname {Ei} _{1}}$.

Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2}}}=-{\frac {1}{2}}\left\{e^{bz}\operatorname {Ei} (-bz)+e^{-bz}\left[\operatorname {Ei} (bz)+\pi i\operatorname {sign} \Im z\right]\right\},\;b>0,\;\Re z\neq 0.\;(5)}$

Формулу (3) для ${\displaystyle b>0}$ и ${\displaystyle y>0}$ можно получить, положив ${\displaystyle z=y\pm i0}$ в (5).

Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова^[2], однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений ${\displaystyle z}$ и при условии, что для функции ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ используется определение (1).

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ вместо ${\displaystyle \operatorname {Ei} _{1}}$) нельзя полностью доверять также и справочникам.^{[источник не указан 1179 дней]}

• Интегральный логарифм
• Интегральный синус
• Интегральный косинус