Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

${\displaystyle *\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\to \Lambda ^{n-q}(T^{*}M)}$

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определим форму объёма

${\displaystyle \Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}}$

${\displaystyle \Omega _{M_{1}\ldots M_{n}}=f(X)\varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}}$

где ${\displaystyle f(X):M\to \mathbb {R} }$ — неотрицательный скаляр на многообразии ${\displaystyle M}$, а ${\displaystyle \varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}}$ — полностью антисимметричный символ. ${\displaystyle \varepsilon _{0\ldots n-1}=+1}$. Даже в отсутствие метрики, если ${\displaystyle f(X)>0}$, можно определить контравариантные компоненты формы объёма.

${\displaystyle {\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X)}}{\frac {\partial }{\partial {X^{0}}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{X^{n-1}}}}}$

${\displaystyle {\check {\Omega }}^{M_{1}\ldots M_{n}}=f^{-1}(X)\varepsilon ^{M_{1}\ldots M_{n}}}$

здесь антисимметричный символ ${\displaystyle \varepsilon ^{M_{1}\ldots M_{n}}}$ совпадает ${\displaystyle \varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}}$.

В присутствии метрики ${\displaystyle \Omega }$ с поднятыми индексами может отличаться от ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$ на знак: ${\displaystyle \Omega =\sigma {\check {\Omega }}}$. Здесь и далее ${\displaystyle \sigma =\operatorname {sgn} \det(g_{mk})}$

Введём операцию антисимметризации:

${\displaystyle A_{[m_{1}\ldots m_{q}]}={\frac {1}{q!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}(-1)^{\operatorname {sgn}(m_{1}\ldots m_{q})}A_{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}}$. Суммирование ведётся по всем перестановкам ${\displaystyle \sigma (m_{1}\ldots m_{q})}$ индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$. Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: ${\displaystyle A_{k[lm]}={\frac {1}{2!}}(A_{klm}-A_{kml})}$; ${\displaystyle A_{k}^{[l}B_{p}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})}$.

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

${\displaystyle A^{A\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor B\ldots }{}_{C\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor D\ldots }={\frac {1}{k!}}A^{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }{}_{C\ldots K_{1}\ldots K_{k}D\ldots }}$.

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки ${\displaystyle \lfloor \;\rfloor }$ только по упорядоченным наборам не деля на ${\displaystyle k!}$, это связано с тем, что разные наборы индексов ${\displaystyle K_{1}\ldots K_{k}}$, отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

${\displaystyle (A,B)_{M_{k+1}\ldots M_{q}}^{(k)}{}^{N_{k+1}\ldots N_{p}}=A_{\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor M_{k+1}\ldots M_{q}}B^{\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor N_{k+1}\ldots N_{p}}}$

${\displaystyle (A,B)_{M_{1}\ldots M_{q-k}}^{\underline {(k)}}{}^{N_{1}\ldots N_{p-k}}=A_{M_{1}\ldots M_{q-k}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }B^{N_{1}\ldots N_{p-k}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}$

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Используя форму объёма ${\displaystyle \Omega }$ и поливектор ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$, можно ввести операцию ${\displaystyle *}$, превращающую поливектор ${\displaystyle B}$ степени ${\displaystyle p}$ в дифференциальную форму ${\displaystyle *B}$ степени ${\displaystyle n-p}$, и обратную операцию ${\displaystyle *^{-1}}$, превращающую форму ${\displaystyle A}$ степени ${\displaystyle q}$ в поливектор ${\displaystyle *^{-1}A}$ степени ${\displaystyle n-q}$

${\displaystyle *B=(\Omega ,B)^{(p)}}$

${\displaystyle *^{-1}A=(A,{\check {\Omega }})^{\underline {(q)}}}$

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

${\displaystyle (*B)_{m_{q+1}\ldots m_{n}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{m_{1}\ldots m_{q}}\varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}}$

Поскольку ${\displaystyle *^{-1}*B=B}$ и ${\displaystyle **^{-1}A=A}$, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов ${\displaystyle *}$ и ${\displaystyle *^{-1}}$ введём пару операторов: ${\displaystyle {\check {*}}}$ и ${\displaystyle {\check {*}}^{-1}}$, отличающихся от них знаком.

${\displaystyle {\check {*}}B=(\Omega ,B)^{\underline {(p)}}}$

${\displaystyle {\check {*}}^{-1}A=(A,{\check {\Omega }})^{(q)}}$

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика ${\displaystyle g_{mk}}$. Обозначим ${\displaystyle g=\det(g_{mk})}$.

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой ${\displaystyle g_{mk}}$ называется форма ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}}$ В компонентах:

${\displaystyle \Omega _{m_{1}\ldots m_{n}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}}$

${\displaystyle \Omega ^{m_{1}\ldots m_{n}}={\frac {\sqrt {|g|}}{g}}\varepsilon ^{m_{1}\ldots m_{n}}={\frac {\operatorname {sgn}(g)}{\sqrt {|g|}}}\varepsilon ^{m_{1}\ldots m_{n}}}$

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

${\displaystyle A_{m_{1}\ldots m_{n}}=A^{l_{1}\ldots l_{n}}g_{m_{1}l_{1}}\cdots g_{m_{n}l_{n}}}$

Поэтому мы можем установить взаимно однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. ${\displaystyle (*A)_{m_{q+1}\ldots m_{n}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{m_{1}\ldots m_{n}}A_{l_{1}\ldots l_{q}}g^{m_{1}l_{1}}\cdots g^{m_{q}l_{q}}}$

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

${\displaystyle \delta =*^{-1}d*}$

${\displaystyle (\delta A)^{M_{1}\ldots M_{q-1}}={\frac {1}{f(X)}}\partial _{M_{q}}(f(X)A^{M_{1}\ldots M_{q}})}$

В присутствие метрики оператор дивергенции ${\displaystyle \delta }$ выражается через оператор ковариантной производной ${\displaystyle \nabla }$, определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

${\displaystyle (\delta A)^{M_{1}\ldots M_{q-1}}=(\nabla ,A)^{{\underline {(1)}}M_{1}\ldots M_{q-1}}=\nabla _{M_{q}}A^{M_{1}\ldots M_{q}}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{M_{q}}({\sqrt {|g|}}A^{M_{1}\ldots M_{q}})}$

Иногда операцию ${\displaystyle d}$ (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию ${\displaystyle \delta }$ — дивергенцией. Для 1-формы операция ${\displaystyle \delta }$ задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан ${\displaystyle \Delta }$ от ${\displaystyle q}$-формы ${\displaystyle A}$ определяется формулой:

${\displaystyle \Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A}$

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа — Бельтрами:

${\displaystyle \Delta \varphi =\nabla _{M}\nabla ^{M}\varphi ={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{M}{\sqrt {|g|}}g^{MN}\partial _{N}\varphi }$

Для скаляра ${\displaystyle \Delta =\nabla _{M}\nabla ^{M}}$. Если ${\displaystyle q>0}$, то по формуле Бохнера для произвольной метрики в ${\displaystyle \Delta }$ появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае ${\displaystyle q=1}$

${\displaystyle (\Delta A)_{K}=\nabla _{M}\nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}}$

где ${\displaystyle R_{K}{}^{M}}$ — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

• Лекции М. Г. Иванова по курсу «Геометрические методы в классической теории поля». http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html