PROFILPELAJAR.COM

Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к нулю, но остается почти всюду в конечных пределах.

Для случая последовательности сумм независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями теорема была доказана А. Я. Хинчиным в 1924 году^[1]^[2]. Первую теорему общего типа доказал А. Н. Колмогоров в 1929 году^[3]^[4].

Теорема

Пусть ${Y_{n}}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть $S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}.$ Тогда почти наверное:

\limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}={\sqrt {2}},

\liminf _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=-{\sqrt {2}},

где $\ln$ — натуральный логарифм, $\limsup$ — верхний предел, $\liminf$ — нижний предел.

Обобщения и дополнения

Обобщения закона повторного логарифма Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером^[5]. Обобщение для функциональной сходимости дал Ф. Штрассен^[6]. Им же доказано^[7], что если $Y_{n}$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то

\limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=\infty .

Взаимосвязь с другими предельными теоремами

Закон повторного логарифма занимает промежуточное положение между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел существует в двух вариантах — слабом и усиленном, они утверждают, что суммы $S_{n}$ с делителем $n$ стремятся к нулю, соответственно по вероятности и почти наверное:

{\frac {S_{n}}{n}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0,\quad {\frac {S_{n}}{n}}\longrightarrow 0

почти наверное при

n\to \infty .

Центральная предельная теорема утверждает, что суммы $S_{n}$ с делителем ${\sqrt {n}}$ сходятся к стандартному нормальному распределению, и эта последовательность сумм не сходится к какой-либо конкретной величине ни по вероятности, ни почти наверное, а бесконечно блуждает.

Делитель в законе повторного логарифма приводит к разным результатам для сходимости по вероятности и почти наверное:

{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0

и ни к чему не стремится почти наверное при

n\to \infty

.

Таким образом, хотя величина $S_{n}/{\sqrt {n\ln \ln n}}$ будет меньше, чем любое заданное $\varepsilon >0$ с вероятностью, стремящейся к единице, она будет бесконечное число раз приближаться сколь угодно близко к любой точке отрезка $[-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}]$ почти наверное.

Примечания

↑ Xинчин А. Я., «Fundam. math.», 1924, v. 6, p. 9–20.
↑ Хинчин А. Я. «Основные законы теории вероятностей» Архивная копия от 23 ноября 2012 на Wayback Machine, 1932.
↑ Колмогоров А. Н., «Math. Ann.», 1929, Bd 101, S. 126–135.
↑ Повторного логарифма закон — статья из Математической энциклопедии.
↑ W. Feller, "The general form of the so-called law of the iterated logarithm" Trans. Amer. Math. Soc. , 54 (1943) pp. 373–402.
↑ V. Strassen, "An invariance principle for the law of the iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 3 (1964) pp. 211–226.
↑ V. Strassen, "A converse to the law of iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965–1966) pp. 265–268.