Дифференциальный бином

В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида

x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,

где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа. Представляет интерес интеграл от дифференциального бинома:

I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx.

Свойства

Выразимость интеграла в элементарных функциях

Линии, проходящие через точку (-1,0), которым принадлежат точки (m,n), где m,n — рациональные числа, удовлетворяющие второму условию интегрируемости дифференциального бинома

Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:

$p$ — целое число. Используется подстановка $x=t^{k}$ , $k$ — общий знаменатель дробей $m$ и $n$ ;
${\frac {m+1}{n}}$ — целое число. Используется подстановка $a+bx^{n}=t^{s}$ , $s$ — знаменатель дроби $p$ .
$p+{\frac {m+1}{n}}$ — целое число. Используется подстановка $ax^{-n}+b=t^{s}$ , $s$ — знаменатель дроби $p$ .

Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией

Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию:

I={\frac {1}{n}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}\cdot B_{y}\left({\frac {m+1}{n}},p+1\right),

где $y=-{\tfrac {b}{a}}x^{n}$ , а также через гипергеометрическую функцию:

I={\frac {1}{m+1}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}y^{(m+1)/n}\cdot {}_{2}F_{1}\left({\frac {m+1}{n}},-p;{\frac {m+1}{n}}+1;y\right).

Примеры

Интеграл

\int {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}dx

не выражается в элементарных функциях, здесь $m=0,n=2,p={1 \over 3}$ , и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено.

В то же время интеграл

\int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={x{\sqrt {x^{2}+1}} \over 2}+{1 \over 2}\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+C

как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь $m=0,n=2,p={1 \over 2}$ , и ${m+1 \over n}+p=1$ , то есть является целым числом.

История

Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру^{[нет в источнике]}. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году^[1].

См. также

Список интегралов элементарных функций

Примечания

↑ P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (фр.) // Journal de mathématiques pures et appliquées^[англ.] : magazine. — 1853. — Vol. XVIII. — P. 87—111. Архивировано 11 февраля 2017 года.

Ссылки

Дифференциальный бином — статья из Большой советской энциклопедии.
Integration Of Differential Binomial (англ.) на сайте PlanetMath.
Tables of indefinite integrals.

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно:

Проставить сноски, внести более точные указания на источники.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

Read other articles:

Katedral Glandèves

Katedral GlandèvesKatedral Santa MariaPrancis: Cathédrale Notre-Dame-de-la-Sède de Glandèvescode: fr is deprecated Katedral GlandèvesLokasiGlandèvesNegara PrancisDenominasiGereja Katolik RomaArsitekturStatusKatedralStatus fungsionalAktifAdministrasiKeuskupanKeuskupan Glandèves Katedral Glandèves (Prancis: Cathédrale Notre-Dame-de-la-Sède de Glandèvescode: fr is deprecated atau Cathédrale Notre-Dame-de-la-Sède d'Entrevaux[1]), sekarang Chapelle de l'Hôpital, adalah s...

Hans Smidth

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Hans Smidth; difoto oleh N.E. Sinding (1864) Hans Ludvig Smidth (2 Oktober 1839 – 5 Mei 1917) adalah seorang pelukis asal Denmark. Ia dikenal karena membuat lukisan-lukisan Jutland dan para penduduk lokalnya.[1] Referensi ^ Han...

1911 Giro d'Italia

Cycling race 1911 Giro d'ItaliaOverview of the stages: route clockwise from Rome, up to Turin, down to Bari, and up to RomeRace detailsDates15 May – 6 June 1911Stages12Distance3,530.3 km (2,194 mi)Winning time132h 24' 00Results Winner Carlo Galetti (ITA) (Bianchi) Second Giovanni Rossignoli (ITA) (Bianchi) Third Giovanni Gerbi (ITA) Team Bianchi ← 1910 1912 → The 1911 Giro d'Italia was the third...

Take Me Home (album One Direction)

Take Me HomeAlbum studio karya One DirectionDirilis9 November 2012DirekamMer–Agustus 2012(Stockholm, Los Angeles, London)LabelSyco, ColumbiaProduserCarl Falk, Rami Yacoub, Savan Kotecha, Ed Sheeran, Max Martin, Dr. LukeKronologi One Direction Up All Night(2011)Up All Night2011 Take Me Home(2012) Midnight Memories(2013)Midnight Memories2013 Singel dalam album Take Me Home Live While We're YoungDirilis: 30 September 2012 Little ThingsDirilis: 11 November 2012 Kiss YouDirilis: 17 November ...

فورت (مدينة)

لمعانٍ أخرى، طالع فورت (توضيح). فورت علم شعار الاسم الرسمي (بالألمانية: Fürth)‏ الإحداثيات 49°28′42″N 10°59′25″E / 49.478333333333°N 10.990277777778°E / 49.478333333333; 10.990277777778 [1] تقسيم إداري البلد ألمانيا (3 أكتوبر 1990–) ألمانيا الغربية (23 مايو 1949–2 أكتوبر ...

Glicerolo

Disambiguazione – Glicerina rimanda qui. Se stai cercando il personaggio dei fumetti, vedi Glicerina (personaggio). GliceroloFormula di struttura del glicerolo Modello molecolare 3D Nome IUPAC1,2,3-propantriolo Nomi alternativiglicerina triidrossipropano Caratteristiche generaliFormula bruta o molecolareC3H8O3 Massa molecolare (u)92,10 Aspettoliquido incolore Numero CAS56-81-5 Numero EINECS200-289-5 PubChem753 DrugBankDB09462 SMILESC(C(CO)O)O Proprietà chimico-fisicheDensità (g/c...

Alfredo Lim

Alfredo Fred S. Lim Wali kota Manila ke-20Masa jabatan30 Juni 2007 – 30 Juni 2013Wakil Wali kotaIsko Moreno PendahuluLito AtienzaPenggantiJoseph EstradaMasa jabatan30 Juni 1992 – 27 Maret 1998Wakil Wali kotaLito Atienza PendahuluMel LopezPenggantiLito AtienzaSenator FilipinaMasa jabatan30 Juni 2004 – 30 Juni 2007[1]Sekretaris Dalam Negeri dan Pemerintahan LokalMasa jabatan8 Januari 2000 – 20 Januari 2001PresidenJoseph Estrada PendahuluRonald...

Voldemārs Zāmuēls

Latvian politician Voldemārs Zāmuēls Voldemārs Roberts Zāmuēls (22 May 1872, in Dzērbene parish – 16 January 1948, in Ravensburg, French occupation zone in Germany) held the office as Prime Minister of Latvia from 27 January 1924 to 18 December, 1924.[1] References ^ Treijs, Rihards (2004). Prezidenti : Latvijas valsts un ministru prezidenti (1918-1940) (in Latvian). Riga: Latvijas Vēstnesis. ISBN 9984-731-47-2. Political offices Preceded byJānis Pauļuks Pri...

Hakuhodo

Hakuhodo Inc.Nama asli株式会社博報堂Nama latinKabushiki gaisha HakuhōdōJenisPerusahaan publikIndustriPeriklananHubungan masyarakatDidirikan6 Oktober 1895KantorpusatAkasaka Biz Tower, 3-1, Akasaka, Minato, Tokyo, JapanTokohkunciJunji Narita: Chairman & CEO, Kirokazu Toda: Presiden & CEOProdukPenjenamaan & identitasWawasan konsumenDesainDigitalPemasaranRiset pasarPerencanaan dan pembelian mediaHubungan masyarakatPemasaran hubunganKaryawan3.107 (2011)IndukHakuhodo DY Holding...

Badan Pembinaan Ideologi Pancasila

Badan Pembinaan Ideologi Pancasila BPIPGambaran umumSingkatanBPIPDidirikan28 Februari 2018; 6 tahun lalu (2018-02-28)Dasar hukum pendirianPeraturan Presiden Nomor 7 Tahun 2018Sifatberada di bawah dan bertanggung jawab kepada PresidenLembaga sebelumnyaUnit Kerja Presiden Pembinaan Ideologi PancasilaStrukturKetua Dewan PengarahProf. Dr. (H.C.) Hj. Megawati SoekarnoputriAnggota Dewan Pengarah Jenderal TNI (Purn.) Try Sutrisno Prof. Dr. M. Amin Abdullah Prof. Dr. K.H. Said Aqil Siroj, M.A. D...

1989 Heinz Southern 500

21st race of the 1989 NASCAR Winston Cup Series 1989 Heinz Southern 500 Race details Race 21 of 29 in the 1989 NASCAR Winston Cup Series The 1989 Heinz Southern 500 program cover, featuring Darrell Waltrip.Date September 3, 1989Official name 40th Annual Heinz Southern 500Location Darlington Raceway, Darlington, South CarolinaCourse Permanent racing facility1.366 mi (2.221 km)Distance 367 laps, 501.322 mi (806.799 km)Scheduled Distance 367 laps, 501.322 mi (806.799 km)Average speed 135.462 mi...

Contea di Wayne (Illinois)

Questa voce sull'argomento contee dell'Illinois è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Contea di WayneconteaLocalizzazioneStato Stati Uniti Stato federato Illinois AmministrazioneCapoluogoFairfield Data di istituzione1819 TerritorioCoordinatedel capoluogo38°25′48″N 88°25′12″W / 38.43°N 88.42°W38.43; -88.42 (Contea di Wayne)Coordinate: 38°25′48″N 88°25′12″W / 38.43°N 88.42°W38...

Shikaoi, Hokkaido

Shikaoi 鹿追町KotaprajaBalai Kota Shikaoi BenderaEmblemLokasi Shikaoi in di Hokkaido (Subprefektur Tokachi)ShikaoiLokasi di JepangKoordinat: 43°6′N 142°59′E / 43.100°N 142.983°E / 43.100; 142.983Koordinat: 43°6′N 142°59′E / 43.100°N 142.983°E / 43.100; 142.983NegaraJepangWilayahHokkaidoPrefektur Hokkaido (Subprefektur Tokachi)DistrikKatōPemerintahan • WalikotaTomomi KiiLuas • Total399,69 km2 ...

Западный округ (Краснодар)

У этого термина существуют и другие значения, см. Западный округ. Западный внутригородской округ город Краснодар Дата основания 1936 год Дата упразднения 1994 Прежние имена Кагановичский, Ленинский районы Микрорайоны Дубинка, Черёмушки, Покровка Площадь 22[1] км² Насе...

Roussen-class fast attack craft

Class of European naval vessels HS Roussen, P-67 in Piraeus during Saint Nicholas festival of 2009.Class overview NameRoussen, Super Vita Builders Elefsis Shipyards BAE Systems Surface Ships Operators Hellenic Navy Preceded byLa Combattante IIIb In commission2005 - present day Planned7 Completed7 Active7 General characteristics TypeFACM Displacement580 tons / 668 tons fully loaded Length62 m Beam9.5 m Draught2.6 m Propulsion4 × MTU 16V595 TE90 diesel engines 23,500 hp Speed35 knots (65&...

User talk:Newslinger

Thank you for your patience as I review and respond to your messages, emails, and notifications. To bring a matter to my immediate attention, please start a new discussion or post a new comment on this page. — Newslinger talk 23:35, 21 September 2023 (UTC)[reply] This is Newslinger's talk page, where you can send them messages and comments. Put new text under old text. Click here to start a new topic. New to Wikipedia? Welcome! Learn to edit; get help. Assume good faith Be polite and avoi...

Japanese submarine Ro-64

RO-64 in 1945 History Japan NameSubmarine No. 79 BuilderMitsubishi, Kobe, Japan Laid down15 October 1923 Launched19 August 1924 RenamedRo-64 on 1 November 1924 Completed30 April 1925 Commissioned30 April 1925 Decommissioned10 December 1928 Recommissioned1 December 1929 Decommissioned1 December 1932 Recommissioned25 March 1933 Decommissioned1 December 1936 (possibly — see text) Recommissioned1 May 1939 (possibly — see text) Decommissioned2...

Open marriage

Form of non-monogamy For the book, see Open Marriage (book). This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Open marriage – news · newspapers · books · scholar&...

Tesco

Questa voce o sezione sull'argomento aziende britanniche non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. TescoLogo Stato Regno Unito Forma societariaSocietà per azioni Borse valoriLSE: TSCO ISINGB0008847096 Fondazione1919 Fondata daJack Cohen Sede principaleCheshunt Persone chiaveDave Lewis CEO Settoregrande distribuzione organizzata ProdottiDroghe...

Toxicity

Degree of harmfulness of substances For the album, see Toxicity (album). For the song, see Toxicity (song). Toxic redirects here. For other uses, see Toxic (disambiguation). This article may need to be rewritten to comply with Wikipedia's quality standards. You can help. The talk page may contain suggestions. (January 2022) Medical conditionToxicityThe skull and crossbones is a common symbol for toxicity. Toxicity is the degree to which a chemical substance or a particular mixture of substanc...

/profillengkap.com/index.php/article/Daman Ganga River

/profillengkap.com/index.php/en/2005 Croatia Open Umag

Keuskupan Agung İzmir

Dewi Mariya Ulfa

List of National Football League career scoring leaders

Estola hirsuta

2001 Women's European Cricket Championship

Zoboomafoo

Stuart Sinclair

List of mountain peaks of Alaska

WiiConnect24

Potjevleesch