Одним из характерных результатов диофантовой геометрии является теорема Фальтингса, утверждающая о конечности множества рациональных точек алгебраической кривойCродаg > 1 над рациональными числами. Первым результатом диофантовой геометрии, вероятно, следует считать теорему Гильберта — Гурвица, разбирающую случай g = 0.
В 1962 году Серж Ленг опубликовал книгу «Диофантова геометрия», в которой был в традиционном ключе изложен материал в диофантовых уравнениях по степени и числу переменных. Книга Луиса Морделла «Диофантовы уравнения» (1969) начинается с замечания об однородном уравнении f = 0 над рациональным полем, приписываемого Гауссу, что ненулевые целые решения существуют тогда и только тогда, когда существуют ненулевые рациональные решения, а также замечания о возражениях Линорда Диксона о параметрических решениях. Результаты Гильберта и Гурвица, полученные в 1890 году, ограничивающие диофантову геометрию кривых 0-го рода степенями 1 и 2 (конические сечения) описан в главе 17, там же сформулировано обобщение для кривых g > 1 (позднее известное как гипотеза Морделла, и ставшее теоремой Фальтингса после доказательства утверждения). Теорема Зигеля о целочисленных точках рассматривается в главе 28. Теорема Морделла — Вейля о конечном числе рациональных чисел на эллиптической кривой изложена в главе 16, и целых чисел на кривой Морделла — в главе 26. При этом Морделл негативно отзывался о геометрическом подходе, используемом Ленгом.
Однако концепция Ленга с опорой на геометрическую интуицию позднее обрела популярность, и в 2006 году он был назван «провидцем»[1][2].
