Александр Гривцов родился 15 апреля1914 года в селе Лещина Плата (ныне — Гололобовка Солнцевского районаКурской области) в семье крестьянина. Окончил семь классов школы, работал водителем автобазы. В 1941 году Гривцов был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С июня того же года — на фронтах Великой Отечественной войны. К февралю 1944 года красноармеец Александр Гривцов был шофёром 504-го лёгкого артиллерийского полка 65-й лёгкой артиллерийской бригады 18-й артиллерийской дивизии 3-го артиллерийского корпуса прорыва 2-й ударной армииЛенинградского фронта. Отличился во время освобождения Эстонской ССР[1].
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 июля 1944 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» красноармеец Александр Гривцов посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза. Также был награждён орденом Ленина и медалями[1].
Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. коллегии И. Н. Шкадов. — М.: Воениздат, 1987. — Т. 1 /Абаев — Любичев/. — 911 с. — 100 000 экз. — ISBN отс., Рег. № в РКП 87-95382.