PROFILPELAJAR.COM

Гипотеза Хадвигера (теория графов) — одна из неразрешённых гипотез теории графов. Она формулируется следующим образом: всякий $k$ -хроматический граф стягиваем к полному графу на $k$ вершинах.

Другие формулировки

Гипотезу Хадвигера можно сформулировать иначе: в каждом $k$ -хроматическом графе обязательно существует $k$ непересекающихся связных подграфов таких, что между любыми двумя из них есть ребро.

Если ввести для графа число Хадвигера➤ $h(G)$ — максимальное $k$ такое, что $G$ стягиваем к полному графу на $k$ вершинах, то гипотеза формулируется в виде неравенства $\chi (G)\leqslant h(G)$ , где $\chi (G)$ — хроматическое число графа.

Частные случаи

Случаи $k=2$ и $k=3$ очевидны: в первом случае граф содержит хотя бы одно ребро, которое и является полным графом $K_{2}$ , во втором случае граф не является двудольным и содержит цикл, стягиваемый к $K_{3}$ .

Доказательство в случае $k=4$ было опубликовано самим Хадвигером в той же работе, в которой была поставлена гипотеза.

Из гипотезы Хадвигера в случае $k=5$ следует справедливость проблемы четырёх красок (ныне доказанной): операция стягивания сохраняет планарность, и, если бы существовал планарный 5-хроматический граф, то существовало бы вложение графа $K_{5}$ в плоскость, несуществование которого следует из формулы Эйлера. В 1937 году Клаус Вагнер доказал равносильность проблемы четырёх красок и гипотезы Хадвигера при $k=5$ , таким образом, этот случай также доказан.

В 1993 году Н. Робертсон, П. Сеймур и Робин Томас доказали гипотезу для $k=6$ , используя проблему четырёх красок.^[1] Это доказательство получило премию Фалкерсона в 1994 году.

Для $k=7$ известно, что если граф не удовлетворяет гипотезе, то он стягиваем и к $K_{4,4}$ , и к $K_{3,5}$ — полным двудольным графам с долями мощности 4 и 4 и мощности 3 и 5 соответственно.

Число Хадвигера

Можно определить отображение $h(G)$ , сопоставляющее графу $G$ максимальное $k$ такое, что $G$ стягиваем к полному графу на $k$ вершинах. Нахождение числа Хадвигера данного графа — NP-трудная задача. В любом графе $G$ , для которого $h(G)=k$ , существует вершина степени $O(k{\sqrt {\log k}})$ .^[2] Применяя жадный алгоритм для раскраски графа, из этого утверждения можно вывести, что $\chi (G)=O(h(G){\sqrt {\log h(G)}})$ .

См. также

Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)

Примечания

↑ Robertson, Neil; Seymour, Paul; Thomas, Robin (1993), «Hadwiger’s conjecture for K6-free graphs» Архивная копия от 10 апреля 2009 на Wayback Machine
↑ Kostochka, A. V. (1984), "Lower bound of the Hadwiger number of graphs by their average degree"