Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма .
Содержание
1 Предыстория 2 Гипотеза 3 Известные решения для (k , m , n ), k = m + n
3.1 (4, 2, 2) 3.2 (4, 1, 3) 3.3 (5, 1, 4) 3.4 (5, 2, 3) 3.5 (6, 3, 3) 3.6 (8, 3, 5) 3.7 (8, 4, 4)
4 Некоторые решения для (k , k , 1) 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки
Целочисленные решения диофантовых уравнений , например, целочисленные решения уравнения
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
теоремой Пифагора , изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней
k
>
2
{\displaystyle k>2}
a
k
+
b
k
=
c
k
{\displaystyle a^{k}+b^{k}=c^{k}}
натуральных числах
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
В 1769 году Леонард Эйлер , увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу , которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнения
a
3
+
b
3
=
c
3
a
4
+
b
4
+
c
4
=
d
4
a
5
+
b
5
+
c
5
+
d
5
=
e
5
… … -->
∑ ∑ -->
k
=
1
n
− − -->
1
a
k
n
=
a
n
n
{\displaystyle {\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}}
не имеют решения в натуральных числах.
В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander ) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin ) нашли для
k
=
5
{\displaystyle k=5}
[ 1]
27
5
+
84
5
+
110
5
+
133
5
=
144
5
.
{\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.}
Для
k
=
4
{\displaystyle k=4}
Ноам Элкис в 1988 году .[ 2] Roger Frye, 1988 ) таково:
414560
4
+
217519
4
+
95800
4
=
422481
4
,
{\displaystyle 414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},}
Однако для
k
=
6
{\displaystyle k=6}
В 1967 году Ландер, Паркин и Джон Селфридж [англ.] [ 3]
∑ ∑ -->
i
=
1
m
x
i
k
=
∑ ∑ -->
i
=
1
n
y
i
k
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k}}
может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если
k
≤ ≤ -->
m
+
n
{\displaystyle k\leq m+n}
Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая
(
k
,
2
,
1
)
,
k
>
3
{\displaystyle (k,2,1),k>3}
(
3
,
2
,
1
)
{\displaystyle (3,2,1)}
Поиск решений уравнений
(
k
,
m
,
n
)
{\displaystyle (k,m,n)}
k
=
m
+
n
{\displaystyle k=m+n}
k
<
m
+
n
{\displaystyle k<m+n}
(
k
,
m
,
n
)
{\displaystyle (k,m,n)}
распределенных вычислений EulerNet [ 4] yoyo@home .
k , m , n ), k = m + n По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k , m , n ) при k = m + n :[ 5]
158
4
+
59
4
=
134
4
+
133
4
{\displaystyle 158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}}
422481
4
=
414560
4
+
217519
4
+
95800
4
{\displaystyle 422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}}
144
5
=
133
5
+
110
5
+
84
5
+
27
5
{\displaystyle 144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}}
14132
5
+
220
5
=
14068
5
+
6237
5
+
5027
5
{\displaystyle 14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027^{5}}
23
6
+
15
6
+
10
6
=
22
6
+
19
6
+
3
6
{\displaystyle 23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6}}
966
8
+
539
8
+
81
8
=
954
8
+
725
8
+
481
8
+
310
8
+
158
8
{\displaystyle 966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}}
3113
8
+
2012
8
+
1953
8
+
861
8
=
2823
8
+
2767
8
+
2557
8
+
1128
8
{\displaystyle 3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}}
k , k , 1)
k = 3
3
3
+
4
3
+
5
3
=
6
3
{\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}
k = 4
30
4
+
120
4
+
272
4
+
315
4
=
353
4
{\displaystyle 30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4}}
R. Norrie, 1911 )[ 3]
k = 5
19
5
+
43
5
+
46
5
+
47
5
+
67
5
=
72
5
{\displaystyle 19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}}
Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967 )[ 3]
k = 6Решения неизвестны.
k = 7
127
7
+
258
7
+
266
7
+
413
7
+
430
7
+
439
7
+
525
7
=
568
7
{\displaystyle 127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}}
M. Dodrill, 1999 )
k = 8
90
8
+
223
8
+
478
8
+
524
8
+
748
8
+
1088
8
+
1190
8
+
1324
8
=
1409
8
{\displaystyle 90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}=1409^{8}}
Scott Chase, 2000 )
k ≥ 9Решения неизвестны.
