PROFILPELAJAR.COM

Гауссовская оптика (также параксиальная оптика) — теория идеальных оптических систем для малых углов.

Основные положения

В параксиальной области (бесконечно близко к оптической оси), любая реальная система ведет себя как идеальная:

Каждой точке пространства предметов можно поставить в соответствие сопряженную ей точку в пространстве изображений.
Каждая прямая линия имеет сопряженную ей прямую линию в пространстве изображений.
Каждая плоскость пространства предметов имеет сопряженную ей плоскость в пространстве изображений.

Из этих положений следует, что:

Меридиональная плоскость имеет сопряженную ей меридиональную плоскость в пространстве изображений.
Плоскость в пространстве предметов, перпендикулярная оптической оси, имеет сопряженную ей плоскость, перпендикулярную оптической оси в пространстве изображений.

Линейное, угловое, продольное увеличение

Линейное (поперечное) увеличение оптической системы — это отношение линейного размера изображения в направлении, перпендикулярном оптической оси, к соответствующему размеру предмета в направлении перпендикулярном оптической оси (рис.1).

$V=\beta ={\frac {y'}{y}}$ , (1)

Если V > 0, то отрезки y и y' направлены в одну сторону, если V < 0 , то отрезки y и y' направлены в разные стороны, то есть происходит оборачивание изображения.

Если |V| > 1, то величина изображения больше величины предмета, если |V|< 1, то величина изображения меньше величины предмета.

Для идеальной оптической системы линейное увеличение для любой величины предмета и изображения в одних и тех же плоскостях одно и то же.

Угловое увеличение оптической системы — это отношение тангенса угла между лучом и оптической осью в пространстве изображений к тангенсу угла между сопряженным с ним лучом в пространстве предметов и осью (рис.2).

$W={\frac {\tan \alpha '}{\tan \alpha }}$ , (2)

В параксиальной области углы малы, и следовательно, угловое увеличение — это отношение любых из следующих угловых величин:

W={\frac {\tan \alpha '}{\tan \alpha }}={\frac {\sin \alpha '}{\sin \alpha }}={\frac {\alpha '}{\alpha }}

, (3)

Продольное увеличение оптической системы — это отношение бесконечно малого отрезка, взятого вдоль оптической оси в пространстве изображений, к сопряженному с ним отрезку в пространстве предметов (рис.3).

$Q={\frac {l'}{l}}$ , (4)

Кардинальные точки и отрезки

Рассмотрим плоскости в пространстве предметов и сопряженные им плоскости в пространстве изображений. Найдем пару плоскостей, в которых линейное увеличение равно единице. В общем случае такая пара плоскостей существует, причем только одна (исключением являются афокальные или телескопические системы, для которых такие плоскости могут не существовать или их может быть бесконечное множество).

Главными плоскостями системы называется пара сопряженных плоскостей, в которых линейное увеличение равно единице (V = 1).
Главные точки H и H '— это точки пересечения главных плоскостей с оптической осью.

Рассмотрим случай, когда линейное увеличение равно нулю, или бесконечности. Отодвинем плоскость предметов бесконечно далеко от оптической системы. Сопряженная ей плоскость называется задней фокальной плоскостью, а точка пересечения этой плоскости с оптической осью — задний фокус F ' (рис.4).

Расстояние от задней главной точки до заднего фокуса называется задним фокусным расстоянием f '.
Расстояние от последней поверхности до заднего фокуса называется задним фокальным отрезком S '_F.
Передний фокус — это точка на оптической оси в пространстве предметов, сопряженная с бесконечно удаленной точкой, расположенной на оптической оси в пространстве изображений

Если лучи выходят из переднего фокуса, то они идут в пространстве изображений параллельно.

Переднее фокусное расстояние f — это расстояние от передней главной точки до переднего фокуса.
Передний фокальный отрезок S_F — это расстояние от первой поверхности до переднего фокуса.

Если f ' > 0, то система называется собирающей или положительной. Если f ' < 0 , то система рассеивающая или отрицательная.

Переднее и заднее фокусные расстояния не являются абсолютно независимыми, они связаны между собой соотношением:

{\frac {f'}{f}}=-{\frac {n'}{n}}

, (5)

Выражение (5) можно переписать в виде:

{\frac {f'}{n'}}=-{\frac {f}{n}}

, (6)

где ${\frac {f'}{n'}}$ — приведенное или эквивалентное фокусное расстояние.

В том случае, если оптическая система находится в однородной среде (например, в воздухе) n = n ', следовательно, переднее и заднее фокусные расстояния равны по абсолютной величине |f| = |f '|.

Оптическая сила оптической системы:

$\Phi ={\frac {n'}{f'}}=-{\frac {n}{f}}$ , (7)

Чем больше оптическая сила, тем сильнее оптическая система изменяет ход лучей. Если Φ = 0 то $f'=\inf$ .

Построение изображений

Найдем изображение A ' точки A. Для этого необходимо построить хотя бы два вспомогательных луча, на пересечении которых и будет находиться точка A ' (рис.5). Вспомогательный луч 1 можно провести через точку A параллельно оптической оси. Тогда в пространстве изображений луч 1' пройдет через задний фокус оптической системы. Вспомогательный луч 2 можно провести через точку A и передний фокус оптической системы. Тогда в пространстве изображений луч 2' пойдет параллельно оптической оси. На пересечении лучей 1' и 2' будет находиться изображение точки A. Теперь в точке A ' пересекаются все лучи (1-2-3), выходящие из точки A.

Построим теперь ход луча r (рис.6).

1 способ. Можно построить вспомогательный луч, параллельный данному и проходящий через передний фокус (луч 1). В пространстве изображений луч 1' будет идти параллельно оптической оси. Так как лучи r и 1 параллельны в плоскости предметов, то в пространстве изображений они должны пересекаться в задней фокальной плоскости. Следовательно, луч r ' пройдет через точку пересечения луча 1' и задней фокальной плоскости. 2 способ. Можно построить вспомогательный луч, идущий параллельно оптической оси и проходящий через точку пересечения луча r и передней фокальной плоскости (луч 2). Соответствующий ему луч в пространстве изображений (луч 2') будет проходить через задний фокус. Так как лучи r и 2 пересекаются в передней фокальной плоскости, в пространстве изображений они должны быть параллельными. Следовательно, луч r ' пойдет параллельно лучу 2'.

Литература

Михельсон Н. Н. Оптика астрономических телескопов и методы её расчета. — М.: Физматлит, 1995. — 333 с.
Родионов С. А., Вознесенский Н. Б., Иванова Т. В. Электронный учебник по дисциплине: «Основы оптики». https://de.ifmo.ru/bk_netra/page.php?tutindex=201