В юности Вебер играл в Квебекском международном хоккейном турнире 2002 года с командой из Центральной Швейцарии. Карьеру профессионального хоккеиста Янник Вебер начал в 2005 году, в клубе второй швейцарской лиги «Лангенталь». До этого Вебер играл в юниорской команде швейцарского СК «Берн». Отыграв в «Лагентале» 1 сезон, молодой защитник перебрался за океан, в клуб ОХЛ «Китченер Рейнджерс». За два сезона с «Рейнджерс» Вебер набрал 96 очков и еще 26 в плей-офф. В 2008 году, в своем последнем сезоне с «Китченером», он помог команде выиграть четвёртый кубок Дж. Росса Робертсона и выйти в финал Мемориального кубка.
Карьера в НХЛ и Европе
Монреаль Канадиенс
В 2007 году под общим 73-м номером Вебер был задрафтован клубом «Монреаль Канадиенс». Летом 2008 года «Монреаль» подписал с Вебером трехлетний контракт новичка[1][2]. Свой первый матч в НХЛ Вебер сыграл в сезоне 2008/09. В том же сезоне молодой защитник принял участие в матче всех звёзд АХЛ. Первые два сезона после перехода в НХЛ Янник Вебер в основном провёл за фарм-клуб «Монреаля», «Гамильтон Булдогс». 20 апреля 2009 года Вебер забил свой первый гол в НХЛ вратарю Тиму Томасу из «Бостона». Стабильное место в основе «Канадиенс» швейцарский защитник получил только в сезоне 2010/11. В 2011 году в плей-офф Вебер забил 2 гола в ворота вышеупомянутого Тима Томаса. В июне 2011 года продлил контракт с «Монреалем» на 2 года и общую сумму $ 1,7 млн.[3] 9 октября 2011 года Вебер забил гол в большинстве в матче против «Виннипег Джетс» в первой игре регулярного сезона. Это позволило «Канадиенс» победить в Виннипеге впервые с 1996 года. Также Вебер является единственным на данный момент хоккеистом «Монреаля», который играл в джерси с игровым номером 68[4]. Всего за «Монреаль» Вебер провёл 115 встреч и набрал 32 очка в регулярных чемпионатах и 6 встреч и 4 (3+1) очка в плей-офф.
Женева-Серветт
В сентябре 2012 года подписал контракт с «Женевой-Серветт» из-за временного локаута в НХЛ и неизвестности о начале сезона НХЛ 2012/13[5]. За «Женеву-Серветт» провёл 32 матча, в которых набрал 21 (5+16) очко, позже вернувшись в стан «Монреаля».
Ванкувер Кэнакс
5 июля 2013 года Вебер подписал однолетний контракт на сумму $ 650 тыс. с «Ванкувер Кэнакс» после того как «Канадиенс» не квалифицировали его как ограниченно свободного агента[6][7]. В ноябре 2013 года Вебера выставили на драфт отказов, откуда его никто не забрал[8]. Существовала вероятность, что Вебер может перейти в швейцарский «Берн», но игрок отклонил предложение клуба. Также Вебером интересовались «Женева-Серветт», за которую он выступал в сезоне 2012/13, а также «Фрибур-Готтерон».[9] Позже Вебера вызвали в основную команду. В сезоне 2013/14 набрал 10 очков в 49 матчах за и продлил контракт на 1 год и $ 850 тыс.[10] В сезоне 2014/15 Янник установил личные рекорды, набрав 21 очко из которых 11 голов. 5 из 11 голов были забиты в последних 11 играх регулярного чемпионата. 1 июля 2015 года Янник Вебер переподписал контракт с «Ванкувер Кэнакс» на год и $ 1,5 млн.[11][12] По ходу сезона 2015/16 Вебера из-за неудовлетворительной игры выставили на драфт отказов[13], который он удачно прошёл и отправился в фарм-клуб «Ванкувер Кэнакс» — «Ютику Кометс».[14][15] Однако не сыграв ни одной игры через несколько дней был вызван обратно в «Ванкувер» из-за травмы защитника Александра Эдлера[16]. Всего за «Ванкувер Кэнакс» провёл 165 матчей, в том числе 6 в плей-офф, в которых набрал 38 очков.
Нэшвилл Предаторз
1 июля 2016 года после трёх лет в стане «косаток», будучи неограниченно свободным агентом, подписал однолетний контракт на сумму $ 575 тыс. с «Нэшвилл Предаторз».[17] Ранее было известно, что Вебер отклонил предложения из Швейцарии от «Женевы-Серветт» и «Лугано», которые могли ему принести бы около 1,7 млн швейцарских франков[18]. В первом же сезоне вместе с командой дошёл до Финала Кубка Стэнли. В сезоне 2016/17 провёл 73 матча в регулярном сезоне и 22 в плей-офф и набрал 8 и 1 очков соответственно. По заявлению Игоря Есмантовича – генерального менеджера ЦСКА, московский клуб вёл переговоры с Вебером, однако не смог договориться о переходе защитника[19]. В июне 2017 года Вебер переподписал контракт с «Нэшвиллом» на 1 год и сумму $ 650 тыс.[20] В январе 2018 года «Предаторз» объявили о переподписании трех защитников, а именно Энтони Битетто, Мэтта Ирвина и Янника Вебера[21]. Последних двух на 2 года и общую сумму $ 1,3 млн. В сезоне 2017/18 Янник вместе с «хищниками» стал обладателем Президентского Кубка, а также Чемпионом Центрального дивизиона[22]. Чемпионом Центрального дивизиона «Предаторз» стали и в 2019 году[23], однако уже в первом раунде уступили «Далласу» (2:4)[24]. После окончания контракта Вебер являлся свободным агентом, но в январе 2021 года «Нэшвилл» пригласил Вебера в тренировочный лагерь на просмотр[25][26]. Однако после него Вебер не получил предложения о контракте. Всего за «Нэшвилл Предаторз» Янник Вебер провел 223 матча в регулярном сезоне и набрал 24 очка, а также 30 матчей в плей-офф с двумя набранными очками.
Питтсбург Пингвинз
27 января 2021 года подписал однолетний контракт с «Питтсбург Пингвинз» на сумму $ 700 тыс.[27] За «Пингвинз» провёл лишь 2 матча без набранных очков, проведя большую часть сезона в «taxi squad».