Родился в многодетной семье (шестеро братьев и сестёр).
Детство выпало на военные годы. Летом 1941 года, когда началась война, окончил третий класс школы.
Зимой 1942 года семью отправляют в командировку в Тульскую область на восстановление шахт. Через год отца отправили в Москву, куда вскоре перебирается семья.
В 1944 году по комсомольской путёвке восстанавливал послевоенную Москву: переквалифицировавшись в электромонтёры, приводил в порядок столичное освещение, работал монтёром-телефонистом.
В 1947 году начал тренироваться в спортивном обществе «Труд». Под руководством Якова Алексеевича Неврейтдинова стал мастером спорта СССР по греко-римской борьбе.
В конце 1948 года знакомится с одним из основоположников лечебной физкультуры и спортивной медицины в СССР, профессором Иваном Михайловичем Саркизовым-Серазини. Эта встреча стала судьбоносной для Анатолия Бирюкова. По настоянию будущего учителя поступает в школу рабочей молодёжи (1949 год).
В 1954—1956 после демобилизации вернулся к обучению в школе рабочей молодёжи.
В 1956—1958 окончил Школу тренеров при ГЦОЛИФК. В 1959 году сдал вступительные экзамены. Обучение совмещал с тренерской работой во Дворце тяжёлой атлетики, преподавал массаж на кафедре у профессора И. М. Саркизова-Серазини (сегодня кафедра носит имя учителя[1].
Начиная с 1960 года, профессор И. М. Саркизов-Серазини передает А. А. Бирюкову курс дисциплины «Массаж», оставив многие теоретические и практические работы. Впоследствии А. А. Бирюковым были разработаны и внедрены в практику абсолютно новые приемы массажа с учётом не только строения мышц, но и положения тела (стоя, сидя, лежа). На основании физиологических данных разработаны методики проведения массажа в различных видах спорта.
В 1963 году окончив обучение в ГЦОЛИФК в должности старшего преподавателя, поступил на вечернее отделение Первого медицинского института, где проучился около трёх лет.
В 1974 г. защитил диссертацию по теме «Методика восстановительного массажа при субмаксимальной нагрузке».
С 1952 года принимал непосредственное участие в составе советских, а затем и российских делегациях на Олимпийских играх в качестве реабилитатора, много работал на чемпионатах мира. В общей сложности более ста раз был за границей на всех крупнейших соревнованиях за последние 50 лет. Последние годы работал со сборными командами как реабилитолог и массажист.
Написал более 500 научно-методических и популярных работ, 50 книг (из них 8 учебников по спортивному, лечебному и гигиеническому массажу для ВУЗов) и 10 монографий[2] . Впервые дал определение термину «массаж», разработал и обосновал общую классификацию массажа (виды, методы, приёмы). Его работы изданы в Польше, Испании, Японии, Болгарии, Кубе, Мексике, США и др.
Награждён медалью Пьера де Кубертена «За величайшие заслуги в области развития Олимпийского движения», Орденом Дружбы, кавалер ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени, обладатель Почетной грамоты Президента Российской Федерации «За заслуги в развитии физической культуры и спорта, высокие спортивные достижения на Всемирных универсиадах и Олимпийских играх».
Память
Портрет А. А. Бирюкова создал известный российский художник А. П. Парфёнов.
