Аффинное многообразие — гладкое многообразие, обладающее атласом, в котором все отображения склейки являются аффинным. Эквивалентно, многообразие является аффинным, если оно допускает плоскую связность без кручения.

• Аффинное многообразие называется полным, если его универсальное накрытие гомеоморфно ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$.

• Фундаментальная группа компактного полного плоского аффинного многообразия называется аффинной кристаллографической группой. Классификация аффинных кристаллографических групп далека от решения.

• ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\times \mathbb {S} ^{1}}$ является фактором ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$ по группе, образованной гомотетией ${\displaystyle x\mapsto 2\cdot x}$, следовательно, является компактным не полным аффинным многообразием.

В геометрии аффинных многообразий есть несколько древних гипотез. Большинство из них доказано в малой размерности и некоторых других особых случаях.

• Гипотеза Маркуса (1962), утверждает, что компактное аффинное многообразие является полным тогда и только тогда, когда оно имеет параллельную форму объёма.
• Гипотеза Ауслендера (1964), утверждает, что любая аффинная кристаллографическая группа содержит полициклическую подгруппу конечного индекса.
• Гипотеза Черна^[англ.] (1955), утверждает, что эйлерова характеристика любого компактного аффинного многообразия равна нулю.