Născut în San Sebastián, Țara Bascilor, Odriozola s-a alăturat organizării tineretului Real Sociedad în 2006, la vârsta de zece ani. La 1 septembrie 2013, el a făcut debutul său senior, împotriva celor de la UD Las Palmas Atlético în Segunda Division B [4], și în aceeași lună a făcut prima dintre mai multe apariții în Liga Tinerilor UEFA.
Odriozola a fost promovat definitiv în B înaintea sezonului 2014-15 și a marcat primul său gol la 6 septembrie 2014 într-o victorie de 3-0 cu Real Unión. La 25 februarie 2016, el și-a reînnoit contractul cu Sanse până în 2018.
La 16 ianuarie 2017, atât Carlos Martínez, cât și Joseba Zaldúa s-au accidentat, Odriozola a debutat la prima echipă în La Liga, într-o victorie cu 2-0 împotriva celor de la Malaga CF. Până la sfârșitul campionatului, a jucat în alte 16 meciuri.
Odriozola și-a reînnoit contractul până în 2022, la 10 iunie 2017, și a fost definitiv promovat la echipa principală înaintea sezonului 2017-18. A marcat primul său gol profesionist pe 15 februarie 2018, în remiza de 2-2 cu FC Red Bull Salzburg pentru runda a 32-a în Europa League pe stadionul Anoeta.
Real Madrid
La 5 iulie 2018, Real Madrid a ajuns la un acord cu Real Sociedad pentru transferul Odriozolei. Prețul transferului a fost raportat la 30 de milioane de euro, plus 5 milioane de suplimente condiționate. El și-a făcut debutul la 22 septembrie 2018, jucând toate cele 90 de minute într-o victorie de 1-0 împotriva celor de la RCD Espanyol.
Cariera internațională
Odriozola a fost prima dată selecționat pentru a juca pentru Spania sub 21 de ani de Albert Celades, ajutând echipa să ajungă la finala Campionatului European UEFA din 2017.
Odriozola a fost numit în echipa de 23 de jucători pentru finala Cupei Mondiale din Rusia. El a marcat primul său gol pentru țara sa, la 3 iunie 2018, într-o remiză amicală cu Elveția în Villarreal.