Trisectoarea lui Maclaurin

Trisectoarea lui Maclaurin ca loc geometric al intersecției a două drepte care se rotesc

În geometria algebrică trisectoarea lui Maclaurin este o curbă plană cubică notabilă pentru proprietatea sa de a diviza în trei, ceea ce înseamnă că poate fi folosită pentru trisecțiunea unui unghi.[1] Poate fi definită ca locul geometric al punctului de intersecție a două drepte⁠(d), fiecare rotindu-se cu o viteză unghiulară uniformă în jurul punctelor lor fixe, separate, astfel încât raportul vitezelor de rotație să fie 1:3 iar dreptele coincid inițial cu dreapta care trece prin cele două puncte.[2] O generalizare a acestei construcții se numește curbă divizoare a lui Maclaurin. Curba poartă numele lui Colin Maclaurin care a studiat curba în 1742.[3][4]

Ecuații

Fie două drepte care se rotesc în jurul punctelor și astfel încât, atunci când dreapta care se rotește în jurul punctului său fix formează cu axa Ox unghiul , iar dreapta care se rotește în jurul punctului său fix formează cu axa Ox unghiul . Dacă Q este punctul de intersecție al dreptelor, atunci unghiul format de drepte în Q este . Din teorema sinusurilor,

rezultă ecuația în coordonate polare, care este (fără ca axele să fie translate sau rotite)

.

Prin urmare, curba este un membru al familiei de concoide ale lui de Sluze.

În coordonate carteziene ecuația acestei curbe este[4]

.

Dacă originea este mutată în (a, 0), atunci un raționament similar cu cel de mai sus arată că ecuația curbei în coordonate polare devine

fiind un exemplu de „melc” cu o buclă.

Proprietatea de a fi o trisectoare

Trisectoarea lui Maclaurin demonstrând proprietatea de a trisecta unghiurile

Din punctul se trasează o dreaptă care formează cu axa Ox unghiul . Din origine se trasează o dreaptă prin punctul unde dreapta precedentă intersectează curba. Atunci, prin construcția curbei, unghiul dintre a doua dreaptă și axa Ox este .[2]

Puncte și caracteristici notabile

Curba are o intersecție cu axa Ox în și un punct dublu în origine. Dreapta verticală este o asimptotă. Curba intersectează dreapta x = a sau punctul corespunzător trisecțiunii unui unghi drept, în . Ca o cubică nodală, este de genul zero.

Relația cu alte curbe

Trisectoarea lui Maclaurin poate fi definită cu ajutorul conicelor în trei moduri.

.
și a dreptei față de origine.
.

În plus:

Note

  1. ^ en J. Dennis Lawrence (). A catalog of special plane curvesNecesită înregistrare gratuită. Dover Publications. pp. 36,95,104–106. ISBN 0-486-60288-5. 
  2. ^ a b en Maclaurin Trisectrix at mathcurve.com
  3. ^ a b en Eric W. Weisstein, Maclaurin Trisectrix la MathWorld.
  4. ^ a b c en "Trisectrix of Maclaurin" at MacTutor's Famous Curves Index

Legături externe

Read other articles:

Franz Xaver GruberPotret oleh Sebastian Stief (Hallein,1846), Silent Night Museum, HalleinLahir25 November 1787Hochburg-Ach, Austria Hulu, Monarki HabsburgMeninggal7 Juni 1863 (aged 75)Hallein, Salzburg, Kekaisaran AustriaPekerjaanTeacherchurch organistcomposerKaryaStille Nacht (Malam Kudus) Franz Xaver Gruber (25 November 1787 – 7 Juni 1863) adalah seorang guru SD Austria dan pemain orgen di gereja yang bersama dengan Josef Mohr menulis lagu Silent Night (Stille Nacht dalam ...

 

Irene ManibuyPotret resmi, 2016 Wakil Gubernur Papua Barat Ke-2Masa jabatan27 Mei 2015 – 17 Januari 2017PresidenJoko WidodoGubernurAbraham Octavianus Atururi PendahuluRahimin KatjongPenggantiMohamad LakotaniAnggota Dewan Perwakilan RakyatMasa jabatan1 Oktober 2009 – 30 September 2014Daerah pemilihanPapua Barat Informasi pribadiLahirIrene Manibuy19 Februari 1962 (umur 62)Bintuni, Nugini BelandaPartai politikPKBAfiliasi politiklainnyaGolkar (hingga 2018)Suami/istr...

 

1861 American Civil War battle This article is about the 1861 battle that began the American Civil War. For the 1863 battle, see Second Battle of Fort Sumter. Battle of Fort SumterPart of the American Civil WarBombardment of Fort Sumter, a portrait by Currier and IvesDateApril 12–13, 1861LocationCharleston, South Carolina, U.S.32°45′8″N 79°52′29″W / 32.75222°N 79.87472°W / 32.75222; -79.87472Result Confederate victory Confederacy captures Fort Sumter Begi...

Church in Hoover, Alabama, US The main sanctuary of Hunter Street Baptist ChurchHunter Street Baptist Church (established 1907) is a Baptist Church located in Hoover, Alabama, a suburb of Birmingham. It is affiliated with the Southern Baptist Convention. As of 2018, the church has a membership of approximately 4,500. The church is known for its motto Hunter Street is not a building, but a people; people committed to God and to each other. The Pastor, Buddy Gray, preaches from the Bible. Adult...

 

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Vicino Oriente (disambigua). Questa voce o sezione sugli argomenti geografia e storia non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti dei progetti di riferimento 1, 2. Vicino OrienteGerusalemme Stati Turchia Siria Iraq Libano Palestina Israele&...

 

FC Rot-Weiß KoblenzNama lengkapFC Rot-Weiß Koblenz e.V.Berdiri14 Juni 1947StadionStadion Oberwerth(Kapasitas: 9,500)KetuaPit ArndtKepala pelatihHeiner BackhausLigaRegionalliga Südwest2021–22ke-10, Regionalliga SüdwestSitus webSitus web resmi klub Kostum kandang Kostum tandang Kostum ketiga FC Rot-Weiß Koblenz adalah klub sepak bola Jerman yang berbasis di kota Koblenz. Sejarah Sejak 1 Juli 2021, tim secara resmi bernama FC Rot-Weiß Koblenz.[1] Referensi ^ Rot-Weiß-Fußba...

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Viva, Viva a FRELIMO – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR Viva, Viva a FRELIMOB. Indonesia: Hiduplah FRELIMOLagu kebangsaan Republik Rakyat MozambikPenulis lirikJustino Sigaulane Chem...

 

ناورو بوابة ويكيبيديا حول إحدى أوقيانوسيا جمهورية ناورو (بالإنجليزية: Republic of Nauru)‏ أو ما كانت تعرف قديما باسم الجزيرة السعيدة أو الجزيرة المبهجة هي دولة جزرية تقع في مايكرونيزيا في المحيط الهادي. أقرب الجزر لها هي جزيرة بانابا في جمهورية كيريباس، التي تبعد عنها 300 كم شرقاً....

 

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Karbala – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR artikel ini perlu dirapikan agar memenuhi standar Wikipedia. Tidak ada alasan yang diberikan. Silakan kembangkan artikel ini semampu Anda. Mera...

Hewan domba yang merupakan hewan domestik masyarakat agraris di Tal Pasundan mempunyai ragam fungsi baik sebagai hewan penghasil pupuk organik hingga menjadi wahana wisata kesenian ketangkasan adu domba. Di Babakan Siliwangi, Bandung, pada bulan tertentu setiap tahunnya digelar kesenian ketangkasan domba Garut yang diapresiasi dari berbagai daerah, khususnya di Pasundan, dan wilayah lainnya Seni adu domba Garut adalah seni ketangkasan adu domba yang umumnya terdapat pada masyarakat Garut, Tat...

 

Series of steps leading down to a body of water, particularly a holy river in South Asia For other uses, see Ghat (disambiguation). Munshi Ghat Dashashwamedh Ghat on the Ganges river, in Varanasi. Ghat, a term used in the Indian subcontinent, refer to the series of steps leading down to a body of water or wharf, such as a bathing or cremation place along the banks of a river or pond, the Ghats in Varanasi, Dhobi Ghat or the Aapravasi Ghat.[1][2] Etymology The origin of the Eng...

 

Public university in Bratislava, Slovakia Comenius University in BratislavaUniverzita Komenského v BratislaveLatin: Universitas Comeniana BratislavensisOther nameUK Building detailsComenius University building in central Bratislava Former namesBratislava University of CzechoslovakiaSlovak UniversityTypePublicEstablished1919Academic affiliationsErasmus, Utrecht NetworkBudget€ 185 million (2020) [1]RectorMarek ŠtevčekAcademic staff2,152 (2020–2021)[2]Students22,817 (...

River in the south east of England For similarly-named things, see Lea River and River Lee (disambiguation). LeaLeeRiver Lea at Hertford BasinLocationCountryUnited KingdomCountiesBedfordshire, Hertfordshire, Essex, Greater LondonTownsLeagrave, Luton, Harpenden, Hatfield, Hertford, Ware, Hoddesdon, Broxbourne, Waltham Abbey, Enfield Town, Edmonton, Tottenham, Clapton, Stratford, Bow, Canning TownPhysical characteristicsSource  • locationLeagrave, Luton •...

 

Major battle in the Syrian civil war Not to be confused with Battle of Raqqa (2013). Battle of Raqqa (2017)Part of the American-led intervention in the Syrian civil war, the International military intervention against the Islamic State, the Raqqa campaign (2016–2017), the Rojava–Islamist conflict, and the Syrian civil warMap of the SDF advances and control situations in Raqqa city, during the battle  Islamic State control  Syrian Democratic Forces controlDate6 June –...

 

Title of high office in the Muslim world For other uses, see Emir (disambiguation). Amir redirects here. For the name, see Amir (name). For other uses, see Amir (disambiguation). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Emir – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2012) (Learn how and ...

Military operation For other uses, see Latakia offensive (disambiguation). This article needs editing to comply with Wikipedia's Manual of Style. In particular, it has problems with flag icons should not be used in infoboxes. Please help improve the content. (July 2023) (Learn how and when to remove this message) 2015–2016 Latakia offensivePart of the Syrian Civil War and the Russian military intervention in the Syrian Civil War  Syrian Army control (including Hezbollah)  ...

 

Elevated structure supporting a tank For other uses, see Water Tower (disambiguation). Water tower with cellular tower on top in Mauston, WisconsinWater tower cellular around the neck A water tower is an elevated structure[1] supporting a water tank constructed at a height sufficient to pressurize a distribution system for potable water, and to provide emergency storage for fire protection.[2] Water towers often operate in conjunction with underground or surface service reserv...

 

Canadian politician Marquis Duquesne redirects here. For the French naval officer Marquis du Bouchet, see Abraham Duquesne. Michel-Ange Duquesne de MennevilleBorn(1700-04-04)4 April 1700Toulon, FranceDied17 September 1778(1778-09-17) (aged 78)Antony, Hauts-de-Seine, FranceOccupationGovernor of New France Michel-Ange Duquesne de Menneville, Marquis Duquesne (c. 1700 – 17 September 1778) was a French Governor General of New France. He was born in Toulon, France. Duquesne se...

陶家瑤 陶家瑤(1871年—20世纪?),字星如,江西南昌縣人,原籍浙江會稽縣,清朝及中华民国政治人物。[1] 生平 生于1871年(清朝同治十年),附貢生出身。历任東鄉縣知縣、廣安州知州、忠州直隸州知州、寧遠府知府、雅州府知府,四川安定水陸全軍統領,瀘州滇黔邊計官,運鹽局兵工總廠,官膏總局各總辦。 中华民国成立后,民國二年簡任四川鹽運使,三年簡任...

 

У этого термина существуют и другие значения, см. Астрей. Астрей Пол мужской Отец Крий Мать Еврибия Братья и сёстры Перс и Паллант Супруга Эос Дети ветры в древнегреческой мифологии, Борей, Зефир, Нот, блуждающие звёзды[вд], Фосфор, Апелиот, Геспер, Э...