Faptul că ${\displaystyle x\mapsto \|x\|_{p}}$ este normă, rezultă din inegalitatea lui Minkowski pentru sume finite.

Fie ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ un șir Cauchy din spațiul ${\displaystyle \ell _{\mathbb {K} }^{p},}$ unde ${\displaystyle x_{n}=\{\alpha _{nj}\}_{j=1}^{\infty },}$ și fie ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Atunci există un număr natural ${\displaystyle k_{\varepsilon }}$ astfel încât ${\displaystyle \|x_{n}-x_{m}\|_{p}<\varepsilon }$ pentru orice ${\displaystyle n,m>k_{\varepsilon }}$ — adică ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{nj}-\alpha _{mj}|^{p}<\varepsilon ^{p}.}$ În particular, pentru orice ${\displaystyle j\geq 1}$, ${\displaystyle |\alpha _{nj}-\alpha _{mj}|<\varepsilon }$ dacă ${\displaystyle n,m>k_{\varepsilon },}$ de unde rezultă că șirul ${\displaystyle \{\alpha _{nj}\}_{n=1}^{\infty }}$ este Cauchy. Prin complitudinea lui ${\displaystyle \mathbb {K} }$, există ${\displaystyle \textstyle \alpha _{j}=\lim _{n}\alpha _{nj}\in \mathbb {K} .}$ Fie atunci ${\displaystyle x=\{\alpha _{j}\}_{j=1}^{\infty }.}$ Rezultă că pentru orice ${\displaystyle n>k_{\varepsilon },}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{nj}-\alpha _{j}|^{p}<\varepsilon ^{p},}$

de unde se deduce că:

1. ${\displaystyle x_{n}-x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p},}$ iar spațiul ${\displaystyle \ell _{\mathbb {K} }^{p}}$ fiind liniar, ${\displaystyle x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p};}$
2. Pentru orice ${\displaystyle n>k_{\varepsilon },}$ ${\displaystyle \|x_{n}-x\|_{p}<\varepsilon .}$

În concluzie, pentru orice șir Cauchy ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, există ${\displaystyle x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p}}$ astfel încât ${\displaystyle \textstyle x=\lim _{n}x_{n}}$ — adică spațiul ${\displaystyle \left(\ell _{\mathbb {K} }^{p},\,\|\cdot \|_{p}\right)}$ este complet.

Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach. Deoarece subspațiul este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul este complet.

Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului ${\displaystyle \textstyle X=\prod _{k=1}^{n}X_{k}}$

Fie ${\displaystyle \{x^{m}\}_{m=1}^{\infty }}$ un șir Cauchy din spațiul X, unde ${\displaystyle x^{m}=\left(x_{m1},x_{m2},\cdots ,x_{mn}\right),\;(m=1,2,3,\cdots ).}$

Pentru fiecare ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ există ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ astfel încât ${\displaystyle \|x^{i}-x^{k}\|<\varepsilon ,\;(j,k>N_{\varepsilon }),}$ de unde rezultă că ${\displaystyle \|x_{ji}-x_{ki}<\varepsilon \|,\;(i=1,2,\cdots ,n;\;j,k>N_{\varepsilon }).}$ Atunci există ${\displaystyle x_{i}\in X_{i},\;i=1,2,\cdots ,n,}$ astfel încât ${\displaystyle x_{i}=\lim _{k\to \infty }x_{ki}.}$ Deci ${\displaystyle \|x_{ji}-x_{i}\|\leq \varepsilon \;(i=1,2,\cdots ,n;\;j>N_{\varepsilon }).}$

Se notează ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}).}$ În concluzie, oricare ar fi ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ există ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ astfel încât ${\displaystyle \|x^{j}-x\|\leq \varepsilon \;(j>N_{\varepsilon }),}$ adică ${\displaystyle \textstyle \lim _{m\to \infty }x^{m}=x.}$

Fie ${\displaystyle c_{1}>0,\;c_{2}>0}$ două constante alese astfel ca ${\displaystyle \|x\|^{\prime \prime }\leq c_{1}\|x\|^{\prime },\;\|x\|^{\prime }\leq c_{1}\|x\|^{\prime \prime }\;(x\in L).}$ Fie, în continuare, ${\displaystyle N_{1}=(L,\,\|\cdot \|^{\prime })}$ spațiu Banach și ${\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}$ un șir Cauchy în ${\displaystyle N_{2}=(L,\,\|\cdot \|^{\prime \prime }).}$ Pentru numărul ${\displaystyle \varepsilon >0}$ există ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ astfel încât pentru orice ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ;\;m,n\geq n_{0}}$ există relația ${\displaystyle \textstyle \|x_{n}-x_{m}\|^{\prime \prime }<{\frac {\varepsilon }{c_{2}}}.}$ Se obține ${\displaystyle \textstyle \|x_{n}-x_{m}\|^{\prime }<c_{2}\cdot {\frac {\varepsilon }{c_{2}}}=\varepsilon \;(n,m\geq n_{0}).}$ Prin urmare șirul ${\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}$ este Cauchy în ${\displaystyle N_{1}}$ și întrucât spațiul ${\displaystyle N_{1}}$ este complet, ${\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}$ este convergent în ${\displaystyle N_{1}.}$ Fie ${\displaystyle \textstyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ în ${\displaystyle N_{1},}$ adică ${\displaystyle \|x_{n}-x\|^{\prime }=0.}$ Însă ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|^{\prime \prime }\leq \lim _{n\to \infty }c_{1}\|x_{n}-x\|^{\prime }=0}$ și deci șirul ${\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}$ este convergent în ${\displaystyle N_{2}.}$ În consecință, spațiul ${\displaystyle N_{2}}$ este spațiu Banach.

Schimbând cu rolurile normele ${\displaystyle \|\cdot \|^{\prime }}$ și ${\displaystyle \|\cdot \|^{\prime \prime }}$ se obține că dacă ${\displaystyle N_{2}}$ este spațiu Banach atunci și ${\displaystyle N_{1}}$ este spațiu Banach.

Fie ${\displaystyle X}$ un spațiu vectorial normat și fie ${\displaystyle \textstyle \sum _{n}x_{n}}$ o serie absolut convergentă. Fie ${\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}}$ și ${\displaystyle \textstyle \sigma _{n}=\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ șirurile sumelor parțiale. Prin inegalitatea triunghiului, ${\displaystyle \|s_{n}-s_{m}\|\leq |\sigma _{n}-\sigma _{m}|.}$

Deci dacă ${\displaystyle \{\sigma _{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ este șir Cauchy, atunci și ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ este șir Cauchy. Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s\in X,}$ adică seria ${\displaystyle \textstyle \sum x_{n}}$ este convergentă.

Reciproc, fie ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$un șir Cauchy în X. Atunci există un subșir ${\displaystyle \{x_{k_{n}}\}_{n=1}^{\infty }}$ astfel încât ${\displaystyle \textstyle \|{x_{k}}_{n+1}-x_{k_{n}}\|<2^{-(n+1)}.}$ Rezultă că seria ${\displaystyle \textstyle \sum _{n}\|x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\|}$ este convergentă.

Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria ${\displaystyle \textstyle \sum _{n}\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right)}$ este convergentă. Se notează ${\displaystyle \textstyle x=x_{k_{1}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right).}$ Deoarece:

${\displaystyle x_{k_{1}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right)=x_{k_{m}},\;\;(m\geq 2),}$

rezultă că subșirul ${\displaystyle \textstyle \{x_{k_{n}}\}_{n=1}^{\infty }}$ al șirului ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ este convergent. Prin urmare, șirul ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ este convergent.