Sedenion

În algebra abstractă, sedenionii formează structuri algebrice cu 16 dimensiuni, și sunt obținuți prin aplicarea Construcției Cayley-Dickson, studiate de Smith.[1] În general, sedenionii se notează cu .

Sedenionii Cayley-Dickson

La fel ca octonionii Cayley-Dickson, înmulțirea sedenionilor Cayley-Dickson nu este nici comutativă, nici asociativă. Dar, în comparație cu octonionii, sedenionii nu au proprietatea de a deveni alternativi. Totuși, ei au proprietatea unei puternice asociativități, care poate fi declarată pentru orice element x din , unde puterea este bine definită. De asemenea, ei sunt și flexibili. Orice sedenion este o combinație liniară reală a unității 1, e1, e2, e3, ..., și e15, care formează o bază a spațiului vectorial al sedenionilor.

Sedenionii au elementul neutru multiplicativ 1 și nu au nici un divizor. Asta înseamnă că două numere nenule pot fi înmulțite pentru a obține zero: de exemplu (e3 + e10)×(e6 − e15). Toate sistemele de numere hipercomplexe bazate pe construcția Cayley-Dickson de la sedenioni mai departe nu au nici un divizor.

Tabla înmulțirii a sedenionilor arată în felul următor:

× 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e1 e1 −1 e3 −e2 e5 −e4 -e7 e6 e9 −e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 −e14
e2 e2 −e3 −1 e1 e6 e7 −e4 -e5 e10 e11 −e8 -e9 -e14 −e15 e12 e13
e3 e3 e2 −e1 −1 e7 -e6 e5 −e4 e11 -e10 e9 -e8 -e15 e14 −e13 e12
e4 e4 −e5 −e6 −e7 −1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 −e8 −e9 −e10 −e11
e5 e5 e4 -e7 e6 −e1 −1 -e3 e2 e13 −e12 e15 −e14 e9 −e8 e11 −e10
e6 e6 e7 e4 -e5 −e2 e3 −1 -e1 e14 −e15 −e12 e13 e10 −e11 −e8 e9
e7 e7 -e6 e5 e4 −e3 -e2 e1 −1 e15 e14 −e13 −e12 e11 e10 −e9 −e8
e8 e8 −e9 −e10 −e11 −e12 −e13 −e14 −e15 −1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e9 e9 e8 -e11 e10 −e13 e12 e15 −e14 −e1 −1 -e3 e2 −e5 e4 e7 −e6
e10 e10 e11 e8 -e9 −e14 −e15 e12 e13 −e2 e3 −1 -e1 −e6 −e7 e4 e5
e11 e11 -e10 e9 e8 −e15 e14 −e13 e12 −e3 -e2 e1 −1 −e7 e6 −e5 e4
e12 e12 e13 e14 e15 e8 −e9 −e10 −e11 −e4 e5 e6 e7 −1 -e1 -e2 -e3
e13 e13 -e12 e15 −e14 e9 e8 e11 −e10 −e5 −e4 e7 −e6 e1 −1 e3 −e2
e14 e14 −e15 -e12 e13 e10 −e11 e8 e9 −e6 −e7 −e4 e5 e2 −e3 −1 e1
e15 e15 e14 −e13 -e12 e11 e10 −e9 e8 −e7 e6 −e5 −e4 e3 e2 −e1 −1

Aplicații

Moreno a arătat că spațiul cu norma 1 la sedenioni este homeomorf pentru forma compactă a Grupului Lie.[2]

Note

  1. ^ Smith, 1995
  2. ^ Moreno, 1998

Bibliografie

  • en Imaeda, K.; Imaeda, M. (), „Sedenions: algebra and analysis”, Applied mathematics and computation, 115 (2): 77–88, doi:10.1016/S0096-3003(99)00140-X, MR 1786945 
  • en Kinyon, M.K., Phillips, J.D., Vojtěchovský, P.: C-loops: Extensions and constructions, Journal of Algebra and its Applications 6 (2007), no. 1, 1–20. [1]
  • en Kivunge, Benard M. and Smith, Jonathan D. H: "Subloops of sedenions", Comment.Math.Univ.Carolinae 45,2 (2004)295–302.
  • en Moreno, Guillermo (), „The zero divisors of the Cayley–Dickson algebras over the real numbers”, Sociedad Matemática Mexicana. Boletí n. Tercera Serie, 4 (1): 13–28, arXiv:q-alg/9710013 Accesibil gratuit, MR 1625585 
  • en Smith, Jonathan D. H. (), „A left loop on the 15-sphere”, Journal of Algebra, 176 (1): 128–138, doi:10.1006/jabr.1995.1237, MR 1345298 

Vezi și

Portal icon Portal Matematică