În matematică, în special în teoria operatorilor^⁠(d), fiecare operator liniar ${\displaystyle A}$ peste un spațiu vectorial euclidian definește un operator adjunct ${\displaystyle A^{*}}$ peste acel spațiu conform regulii:

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,}$

Unde ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ este produsul scalar al spațiului vectorial.

Adjunctul mai poate fi numit și conjugat,^[1] iar cei care sunt propriul adjunct se numesc hermitici, după Charles Hermite. Adjunctul se notează adesea cu A^† în domenii precum fizica, mai ales atunci când este utilizat împreună cu notația bra-ket în mecanica cuantică. În dimensiunile finite în care operatorii sunt reprezentați prin matrice, adjunctul este dat de conjugata transpusă.

Definiția de mai sus a unui operator adjunct se extinde verbatim la operatorii liniari mărginiți^⁠(d) peste spațiile Hilbert ${\displaystyle H}$. Definiția a fost extinsă în continuare pentru a include operatori nemărginiți dens definiți^⁠(d) al căror domeniu este dens din punct de vedere topologic în — dar nu neapărat egal cu — ${\displaystyle H.}$

Fie o aplicație liniară ${\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}$ între două spații Hilbert. Făcând abstracție de detalii, operatorul adjunct este operatorul liniar (în cele mai multe cazuri definit în mod unic). ${\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}$ care îndeplinește condiția

${\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}$

Unde ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}}$ este produsul scalar din spațiul Hilbert ${\displaystyle H_{i}}$, care este liniar în prima coordonată și antiliniar^⁠(d) în a doua coordonată. Se observă cazul special în care ambele spații Hilbert sunt identice și ${\displaystyle A}$ este un operator pe acel spațiu Hilbert.

Când se produsul scalar este înlocuit cu împerecherea duală, se poate defini adjunctul, numit și transpusă^⁠(d), al unui operator ${\displaystyle A:E\to F}$, Unde ${\displaystyle E,F}$ sunt spatii Banach cu norme corespunzatoare ${\displaystyle \|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}}$ . Aici (din nou, fără a lua în considerare detaliile), operatorul său adjunct este definit ca ${\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}$ cu

${\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}$

adica ${\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}$ pentru ${\displaystyle f\in F^{*},u\in E}$ .

Definiția de mai sus în contextul spațiului Hilbert este de fapt doar o aplicație a cazului spațiului Banach atunci când se identifică un spațiu Hilbert cu dualul său. Atunci este firesc să se poată obține și adjunctul unui operator ${\displaystyle A:H\to E}$, Unde ${\displaystyle H}$ este un spațiu Hilbert și ${\displaystyle E}$ este un spațiu Banach. Dualul este atunci definit ca ${\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}$ cu ${\displaystyle A^{*}f=h_{f}}$ astfel încât

${\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}$

Fie spațiile Banach ${\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}$. Fie ${\displaystyle A:D(A)\to F}$ și ${\displaystyle D(A)\subset E}$, cu ${\displaystyle A}$ un operator liniar (posibil nemărginit) dens definit^⁠(d) (adică, ${\displaystyle D(A)}$ este dens în ${\displaystyle E}$). Atunci adjunctul său ${\displaystyle A^{*}}$ este definit după cum urmează. Domeniul este

${\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}}$ .

Acum, pentru un ${\displaystyle g\in D(A^{*})}$ arbitrar, dar fix, se stabilește ${\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }$ cu ${\displaystyle f(u)=g(Au)}$ . Prin alegerea lui ${\displaystyle g}$ și definiția lui ${\displaystyle D(A^{*})}$, f este (uniform) continuă pe ${\displaystyle D(A)}$ deoarece ${\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}$ . Atunci, prin teorema Hahn-Banach^⁠(d) sau, alternativ, prin extensie prin continuitate, rezultă o extensie a lui ${\displaystyle f}$, numită ${\displaystyle {\hat {f}}}$ definită pe tot ${\displaystyle E}$. Această tehnică este necesară pentru a se obține ulterior ${\displaystyle A^{*}}$ ca operator ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}$ în loc de ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}$ Se observă și că aceasta nu înseamnă că ${\displaystyle A}$ poate fi extinsă pe orice ${\displaystyle E}$ dar extensia funcționează doar pentru anumite elemente ${\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}$.

Acum se poate defini adjunctul lui ${\displaystyle A}$ drept

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}\end{aligned}}}$

Identitatea fundamentală definitorie este astfel

${\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}$ pentru ${\displaystyle u\in D(A).}$

Presupunem că H este un spațiu Hilbert complex, cu produs scalar ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$. Considerăm un operator liniar continuu A : H → H (pentru operatorii liniari, continuitatea este echivalentă cu mărginirea^⁠(d)). Atunci adjunctul lui A este operatorul liniar continuu A^∗ : H → H care satisface condiția

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{oricare ar fi }}x,y\in H.}$

Existența și unicitatea acestui operator rezultă din teorema de reprezentare Riesz^⁠(d).^[2]

Aceasta poate fi văzută ca o generalizare a matricei adjuncte a unei matrice pătrate care are o proprietate similară care implică produsul interior complex standard.

Următoarele proprietăți ale adjunctului de operatori mărginiți^⁠(d) sunt imediate: ^[2]

1. Involutivitate : A^∗∗ = A
2. Dacă A este inversabilă, atunci la fel este A^∗, cu ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. Anti-liniaritate^⁠(d) :
   • (A + B)^∗ = A^∗ + B^∗
   • (λA)^∗ = λA^∗, unde cu λ se notează conjugatul complex al numărului complex λ
4. „Anti-distributivitate”: (AB)^∗ = B^∗A^∗

Dacă definim norma operatorului^⁠(d) A prin

${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}$

atunci

${\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}$ ^[2]

Mai mult,

${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}$ ^[2]

Se spune că o normă care satisface această condiție se comportă ca „valoarea cea mai mare”, extrapolând din cazul operatorilor autoadjuncți.

Mulțimea operatorilor liniari mărginiți pe un spațiu Hilbert complex H împreună cu operația adjunctă și norma operatorului formează prototipul unei algebre C*^⁠(d) .

Fie produsul scalar ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ liniar în primul argument. Un operator A dens definit^⁠(d) între un spațiu Hilbert complex H și el însuși este un operator liniar al cărui domeniu D(A) este un subspațiu liniar^⁠(d) dens al lui H și ale cărui valori se află în H.^[3] Prin definiție, domeniul D(A^∗) al adjunctului său A^∗ este mulțimea tuturor y ∈ H pentru care există un z ∈ H care satisface condiția

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{pentru orice }}x\in D(A).}$

Datorită densității lui ${\displaystyle D(A)}$ și teoremei de reprezentare Riesz^⁠(d), ${\displaystyle z}$ este definit în mod unic și, prin definiție, ${\displaystyle A^{*}y=z.}$^[4]

Proprietăți 1.–5. rămân valabile cu clauze adecvate despre domenii și codomenii.  De exemplu, ultima proprietate afirmă acum că (AB)^∗ este o extensie a lui B^∗A^∗ dacă A, B și AB sunt operatori dens definiți.^[5]

Pentru orice ${\displaystyle y\in \ker A^{*},}$ funcționala liniară ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$ este identic zero și, prin urmare ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.}$

Reciproc, presupunerea că dacă ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }}$ rezultă că funcționala ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle }$ este identic zero. Deoarece funcționala este în mod evident mărginită, definiția lui ${\displaystyle A^{*}}$ asigură că ${\displaystyle y\in D(A^{*}).}$ Faptul că, pentru fiecare ${\displaystyle x\in D(A),}$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0}$ demonstrează că ${\displaystyle A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},}$ dat fiind că ${\displaystyle D(A)}$ este dens.

Această proprietate arată că ${\displaystyle \operatorname {ker} A^{*}}$ este un subspațiu închis topologic chiar și atunci când ${\displaystyle D(A^{*})}$ nu este.

Dacă ${\displaystyle H_{1}}$ și ${\displaystyle H_{2}}$ sunt spații Hilbert, atunci ${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}}$ este un spațiu Hilbert cu produsul scalar

${\displaystyle {\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},}$

Unde ${\displaystyle a,c\in H_{1}}$ și ${\displaystyle b,d\in H_{2}.}$

Fie ${\displaystyle J\colon H\oplus H\to H\oplus H}$ aplicația simplectică^⁠(d), de exemplu ${\displaystyle J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).}$ Atunci graficul

${\displaystyle G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H}$

al lui ${\displaystyle A^{*}}$ este complementul ortogonal al lui ${\displaystyle JG(A):}$

${\displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.}$

Afirmația rezultă din echivalențele

${\displaystyle {\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,}$

și

${\displaystyle {\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.}$

Un operator ${\displaystyle A}$ este închis dacă graficul ${\displaystyle G(A)}$ este închis topologic în ${\displaystyle H\oplus H.}$ Graficul ${\displaystyle G(A^{*})}$ al operatorului adjunct ${\displaystyle A^{*}}$ este complementul ortogonal al unui subspațiu și, prin urmare, este închis.

Un operator ${\displaystyle A}$ este nemărginit dacă închiderea topologică ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H}$ a graficului ${\displaystyle G(A)}$ este graficul unei funcții. Întrucât ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ este un subspațiu liniar (închis), cuvântul „funcție” poate fi înlocuit cu „operator liniar”. Pentru același motiv, ${\displaystyle A}$ este nemărginit dacă și numai dacă ${\displaystyle (0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)}$ cu condiția ${\displaystyle v\neq 0.}$

Adjunctul ${\displaystyle A^{*}}$ este dens definit dacă și numai dacă ${\displaystyle A}$ este nemărginit. Aceasta rezultă din faptul că, pentru orice ${\displaystyle v\in H,}$

${\displaystyle v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),}$

ceea ce, la rândul său, se demonstrează prin următorul lanț de echivalențe:

${\displaystyle {\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}}$

Închiderea ${\displaystyle A^{\text{cl}}}$ a unui operator ${\displaystyle A}$ este operatorul al cărui grafic este ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ dacă acest grafic reprezintă o funcție. Ca mai sus, cuvântul „funcție” poate fi înlocuit cu „operator”. În plus, ${\displaystyle A^{**}=A^{\text{cl}},}$ ceea ce înseamnă că ${\displaystyle G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).}$

Pentru a demonstra acest lucru, se observă că ${\displaystyle J^{*}=-J,}$ adică ${\displaystyle \langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},}$ pentru orice ${\displaystyle x,y\in H\oplus H.}$ Într-adevăr,

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}}$

În special, pentru orice ${\displaystyle y\in H\oplus H}$ și orice subspațiu ${\displaystyle V\subseteq H\oplus H,}$${\displaystyle y\in (JV)^{\perp }}$ dacă și numai dacă ${\displaystyle Jy\in V^{\perp }.}$ Prin urmare, ${\displaystyle J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }}$ și ${\displaystyle [J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.}$ Înlocuind ${\displaystyle V=G(A),}$ se obține ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).}$

Pentru un operator nemărginit ${\displaystyle A,}$${\displaystyle A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},}$ ceea ce înseamnă că ${\displaystyle G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).}$ Într-adevăr,

${\displaystyle G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).}$

Fie ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),}$ unde ${\displaystyle l}$ este măsura liniară. Se alege o funcție măsurabilă, mărginită, neidentic zero ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ și ${\displaystyle \varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.}$ Se definește

${\displaystyle A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.}$

Rezultă că ${\displaystyle D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.}$ Subspațiul ${\displaystyle D(A)}$ conține toate funcțiile ${\displaystyle L^{2}}$ cu suport compact. Întrucât ${\displaystyle \mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,}$${\displaystyle A}$ este dens definit. Pentru orice ${\displaystyle \varphi \in D(A)}$ și ${\displaystyle \psi \in D(A^{*}),}$

${\displaystyle \langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .}$

Prin urmare, ${\displaystyle A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.}$ Definiția operatorului adjunct necesită ca ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.}$ Întrucât ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ acest lucru este posibil numai dacă ${\displaystyle \langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.}$ Din acest motiv, ${\displaystyle D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.}$ Prin urmare, ${\displaystyle A^{*}}$ nu este dens definit și este identic zero pe ${\displaystyle D(A^{*}).}$ Ca urmare, ${\displaystyle A}$ este nemărginit și nu are al doilea adjunct ${\displaystyle A^{**}.}$

Un operator mărginit^⁠(d) A : H → H se numește hermitic sau autoadjunct^⁠(d) dacă

${\displaystyle A=A^{*}}$

care este echivalent cu

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ pentru orice }}x,y\in H.}$ ^[6]

Într-un anumit sens, acești operatori joacă rolul numerelor reale (sunt egali cu propriul lor „conjugat complex”) și formează un spațiu vectorial real. Ei servesc drept model de observabile^⁠(d) cu valori reale în mecanica cuantică.

Pentru un operator antiliniar^⁠(d), definiția adjunctului trebuie ajustată pentru a compensa conjugarea complexă. Un operator adjunct al operatorului antiliniar A pe un spațiu Hilbert complex H este un operator antiliniar A^∗ : H → H cu proprietatea:

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{pentru orice }}x,y\in H.}$

Ecuația

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }$

este formal similară cu proprietățile definitorii ale perechilor de functori adjuncți^⁠(d) din teoria categoriilor, care de aici și-au luat și numele.

• Brezis, Haim (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (ed. first), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0 .
• Reed, Michael; Simon, Barry (2003), Functional Analysis, Elsevier, ISBN 981-4141-65-8 .
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis [Analiza funcțională]. International Series in Pure and Applied Mathematics (în engleză). 8 (ed. a doua). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.