În matematică un număr poligonal central este un număr figurativ care indică numărul maxim de regiuni în care poate fi divizat un disc printr-un număr dat, n, de drepte. Prin analogie cu tăierea în bucăți a unei foi de clătită, pentru n succesiv numerele sunt cunoscute drept șirul tăietorului leneș (în englezălazy caterer's sequence). De exemplu, cu trei tăieturi o clătită va putea fi tăiată în șase bucăți dacă toate tăieturile se întâlnesc într-un punct comun în interiorul discului, dar în șapte bucăți dacă nu se întâlnesc. Această problemă poate fi formalizată matematic ca una de numărare a regiunilor dintr-un aranjament de drepte(d). Pentru generalizări în dimensiuni superioare a se vedea aranjament de hiperplane(d).
De fapt, doar se adună 1 la numerele triunghiulare. Deoarece a treia coloană a triunghiului lui Bernoulli (k = 2) este un număr triunghiular plus unu, ea este șirul tăietorului leneș din n tăieturi, unde n ≥ 2.
Șirul poate fi obținut și din suma primilor 3 termeni ai fiecărui rând din triunghiul lui Pascal:[2]
Analogul său tridimensional este șirul numerelor de tort. Diferența dintre numerele succesive de tort dă șirul tăietorului leneș.[3]
Demonstrație
Când un disc este tăiat de n ori, pentru a se obține numărul maxim de bucăți, reprezentat ca p = f(n), trebuie luată în considerare a n-a tăietură; numărul de bucăți înainte de ultima tăiere este f(n − 1), în timp ce numărul de bucăți adăugate de ultima tăiere este n.
Pentru a obține numărul maxim de bucăți, a n-a dreaptă tăietoare ar trebui să intersecteze toate celelalte drepte tăietoare anterioare din interiorul discului, dar să nu treacă prin nicio intersecție a dreptelor tăietoare anterioare. Astfel, a n-a dreaptă în sine este tăiată în n − 1 locuri și în nsegmente. Fiecare segment divide (n − 1) bucăți deja tăiate în 2 părți, adăugând exact n la numărul de bucăți. Noua dreaptă nu poate avea mai multe segmente, deoarece poate traversa fiecare dreaptă anterioară o singură dată. O dreaptă tăietoare poate trece întotdeauna peste toate dreptele tăietoare anterioare, deoarece rotirea cuțitului la un unghi mic în jurul unui punct care nu este o intersecție deja existentă va intersecta, dacă unghiul este suficient de mic, toate dreptele anterioare, inclusiv pe ultima adăugată.
Astfel, numărul total de piese după n tăieturi este:
Această relație de recurență poate fi rezolvată. Dacă f(n − 1) este extins cu un termen, relația devine:
Dezvoltarea termenului f(n − 2) poate continua până când ultimul termen este redus la f(0), astfel,
Fiindcă f(0) = 1, deoarece există o singură bucată înainte de a face prima tăiere, aceasta poate fi rescrisă ca:
Expresia poate fi simplificată folosind formula pentru suma unei progresii aritmetice:
^en Yaglom, Akiva; Yaglom, Isaak (). Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions. 1. New York: Dover Publications.
Bibliografie
en Moore, T. L. (), „Using Euler's formula to solve plane separation problems”, The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 22 (2): 125–130, doi:10.2307/2686448, JSTOR2686448
enSteiner, J. (), „Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes ("A Few Statements about the Division of the Plane and of Space")”, J. Reine Angew. Math., 1: 349–364