Număr Pell

Laturile pătratelor utilizate pentru a construi o spirală de argint sunt numerele Pell
Numit după	John Pell
Autorul publicării	Leonhard Euler
Nr. total de termeni	infinit
Formula	${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{dacă }}n=0;\\1&{\mbox{dacă }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{în alt caz.}}\end{cases}}}$
Primii termeni	1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985
Index OEIS	A000129 Pell numbers

A nu se confunda cu Număr Bell.

În matematică, numerele Pell sunt o succesiune infinită de numere întregi, cunoscute din cele mai vechi timpuri, care sunt egale cu numitorii care aproximează din ce în ce mai fidel rădăcina pătrată a lui 2. Acest șir de aproximări începe cu 1/1, 3/2, 7/5, 17/12 și 41/29, așadar șirul numerelor Pell începe cu 1, 2, 5, 12, și 29 .^[1] Numărătorii aceluiași șir de aproximări înmulțiți cu 2 se numesc numere Pell–Lucas; aceste numere formează un al doilea șir infinit de numere întregi care începe cu 2, 6, 14, 34, 82 și 198.^[2]

Numele acestor numere provine de la matematicianul englez John Pell, căruia Euler i-ar fi atribuit din greșeală studiul acestor numere în detrimentul altui matematician englez contemporan cu Pell, William Brouncker.

Numerele Pell sunt definite asemenea numerelor Fibonacci sau a numerelor Lucas, prin recurență, fiecare termen al seriei infinite fiind definit în funcție de cei doi termeni anteriori ai săi.^[3]

Astfel, numerele Pell sunt numerele de forma:

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{dacă }}n=0;\\1&{\mbox{dacă }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{în alt caz.}}\end{cases}}}$

În cuvinte, secvența numerelor Pell începe cu 0 și 1, iar apoi fiecare număr Pell următor este suma de dublul numărului Pell anterior și a numărului Pell dinaintea acestuia. Primii termeni ai secvenței sunt:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860,…

2 = 1 x 2 + 0

5 = 2 x 2 + 1

12 = 5 x 2 + 2

29 = 12 x 2 + 5 ș.a.m.d.

Pe lângă faptul că sunt utilizate pentru a aproxima rădăcina pătrată a lui 2, numerele Pell pot fi folosite pentru a găsi numere pătrate triunghiulare, pentru a construi aproximări întregi ale triunghiului dreptunghic isoscel și pentru a rezolva anumite probleme de combinatorică enumerativă.

Un număr Pell care este și număr prim se numește prim Pell. Pentru ca numărul Pell P_n să fie prim trebuie ca indicele n să fie prim.

Primele numere prime Pell sunt:

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087... ^[4]

• Listă de numere