Mama Kingăi Achruk este Małgorzata Byzdra, fostă handbalistă a Montex Lublin și Zagłębia Lubin, iar tatăl, Jacek Byzdra, handbalist la Wisła Puławy. Kinga a început să joace handbal de la o vârstă fragedă, la clubul JKS Jarosław, între 1997-1999. A continuat apoi la alte echipe de juniori, UKS 5 Puławy (1999-2000), UKS Dwójka Lublin (2000-2002), Orlik Lublin (2002-2004) și SMS Gliwice (2002-2008). Începând din sezonul 2008/09, ea a devenit componentă a echipei de senioare a MKS Zagłębie Lubin, alături de care a devenit campioană a Poloniei în 2011 și de patru ori vicecampioană, în 2009, 2010, 2012 și 2013. În vara anului 2013 s-a transferat la echipa muntenegreană ŽRK Budućnost.