Acest articol sau secțiune are mai multe probleme. Puteți să contribuiți la rezolvarea lor sau să le comentați pe pagina de discuție. Pentru ajutor, consultați pagina de îndrumări. Nu are introducere cu explicația scurtă a subiectului sau introducerea existentă este prea scurtă. Marcat din septembrie 2015. Are bibliografia incompletă sau inexistentă. Marcat din septembrie 2015.  Nu ștergeți etichetele înainte de rezolvarea problemelor.

Vom considera pentru început funcții definite pe un interval deschis mărginit ${\displaystyle I=(a,b)}$ cu ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b}$.

Definiție. Funcția ${\displaystyle s:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} }$ se zice funcție în scară (sau etajată) pe intervalul ${\displaystyle I=(a,b)}$, dacă există o diviziune

${\displaystyle (d)a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k-1}<t_{k}<\cdots <t_{n}=b}$

a intervalului ${\displaystyle I=(a,b)}$ încât ${\displaystyle f}$ este constantă pe fiecare dintre intervalele ${\displaystyle I_{j}=(t_{j-1},t_{j}),j=1,2,\cdots n.}$

Să notăm cu ${\displaystyle S_{I}}$ mulțimea funcțiilor în scară pe intervalul ${\displaystyle I}$. Din definiția precedentă rezultă că dacă ${\displaystyle s\in S_{I}}$ atunci există ${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}\in \mathbb {R} }$ încât

${\displaystyle s(t)=c_{1}\phi _{I_{1}}(t)+c_{2}\phi _{I_{2}}(t)+\cdots +c_{n}\phi _{I_{n}}(t),\forall t\in \bigcup _{j=1}^{n}I_{j},}$

unde ${\displaystyle \phi _{I_{j}}}$ se notează funcția caracteristică a intervalului ${\displaystyle I_{j}=(t_{j-1},t_{j}).}$, adică funcția.

Remarcăm că în punctele ${\displaystyle t_{1},t_{2},\cdots }$, Tabela${\displaystyle _{n-1}}$ funcția s poate fi definită în mod arbitrar.

Remarcă. Din definiția de mai sus rezultă că orice funcție în scară este continuă aproape peste tot^⁠(d) (căci mulțimea punctelor sale de discontinuitate este finită).

Definiție 2. Numărul real

${\displaystyle \int _{I}s(t)dt=\sum _{j=1}^{n}c_{j}(t_{j}-t_{j-1})}$ se numește integrala Lebesque a funcției în scară ${\displaystyle s}$ pe intervalul ${\displaystyle I=(a,b)}$.

În continuare vom mai nota

${\displaystyle \int _{I}s(t)dt=\int _{a}^{b}s(t)dt}$

Exemplu. Funcția ${\displaystyle sign:(-1,1)\rightarrow \mathbb {R} }$ este o funcție în scară pe ${\displaystyle I=(-1,1)}$ și

${\displaystyle \int _{-1}^{1}signtdt=-1+1=0}$

Facem notațiile : ${\displaystyle s^{+}={\frac {s+|s|}{2}},s^{-}{\frac {|s|-s}{2}},s_{1}\vee s_{2}=max\{s_{1},s_{2}\},s_{1}\wedge s_{2}=min\{s_{1},s_{2}\}}$.

Teoremă. Dacă ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}:I\rightarrow \mathbb {R} }$ sunt funcții în scară pe ${\displaystyle I=(a,b)}$ și ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {R} }$ atunci ${\displaystyle \alpha _{1}s_{1}+\alpha _{2}s_{2},|s_{1}|,s_{1}^{+},s_{1}^{-},s_{1}\vee s_{2},s_{1}\wedge s_{2}\in S_{I}}$ și

${\displaystyle (i)\int _{I}(\alpha _{1}s_{1}+\alpha _{2}s_{2})(t)dt=\alpha _{1}\int _{I}s_{1}(t)dt+\alpha _{2}\int _{I}s_{2}(t)dt}$;

${\displaystyle (ii)|\int _{I}s(t)dt|\leq \int _{I}|s(t)|dt}$;

${\displaystyle (iii)s_{1}\leq s_{2}a.p.t\rightarrow \int _{I}s_{1}(t)dt\leq \int _{I}s_{2}(t)dt}$;

${\displaystyle (iv)\forall _{c}\in \rightarrow s\in S_{(}a,c)\bigcap S(c,b)}$ și ${\displaystyle \int _{I}s(t)dt=\int _{a}^{c}s(t)dt+\int _{c}^{b}s(t)dt}$