Animație în buclă a divizărilor articulate de la un triunghi echilateral la un pătrat, apoi la un hexagon, apoi înapoi la triunghi. Se observă că lanțul de piese poate fi conectat în întregime într-un inel în timpul rearanjării de la pătrat la hexagon.
În geometrie o divizare cu balamale, cunoscută și sub denumirea de divizare Dudeney,[1] este un fel de divizare geometrică în care toate piesele sunt conectate într-un lanț prin puncte „articulate”, astfel încât rearanjarea de la o formă la alta poate fi efectuată menținând lanțul continuu, fără a întrerupe niciuna dintre conexiuni.[2] De obicei, se presupune că se permite suprapunerea pieselor în procesul de rearanjare;[3] proces numit de divizare cu balamale.[4]
Istoric
Divizarea lui Dudeney la trecerea de la triunghi la pătratAnimație cu divizarea articulată de la hexagramă la triunghi și apoi la pătrat
Conceptul de divizări cu balamale a fost popularizat de autorul puzzle-urilor matematice, Henry Dudeney. El a introdus celebra divizare cu balamale a unui pătrat într-un triunghi (în imagine) în cartea sa din 1907, The Canterbury Puzzles.[5] Denumirea „cu balamale” provine din modelul din lemn de mahon cu balamale de alamă, cu care a prezentat în 1905 construcția la Royal Society.[6] Teorema Wallace–Bolyai–Gerwien, demonstrată pentru prima dată în 1807, afirmă că oricare două poligoane cu arii egale trebuie să aibă o divizare comună. Totuși, întrebarea dacă două astfel de poligoane trebuie să aibă în comun și o divizare „articulată” a rămas deschisă până în 2007, când Erik Demaine ș.a. au demonstrat că trebuie să existe întotdeauna o astfel de divizare cu balamale și au furnizat un algoritm pentru obținerea ei.[4][7][8] Această demonstrație este valabilă chiar și în ipoteza că piesele nu se pot suprapune în timpul rearanjării și poate fi generalizată la orice pereche de figuri tridimensionale care au o divizare comună.[7][9] Însă în spațiul tridimensional nu se garantează că piesele se pot rearanja fără a se suprapune.[10]
Alte divizări cu balamale
Transformarea unui pătrat în pentagon
Alte tipuri de „balamale” au fost luate în considerare în contextul divizărilor. O divizare cu balama răsucită este una care utilizează o „balama” tridimensională care este plasată pe laturile pieselor, în loc să fie plasată în vârfurile acestora, permițându-le să fie „răsucite” tridimensional.[11][12] Până în 2002 întrebarea dacă două poligoane trebuie să aibă o disvizare comună cu balamale răsucite încă nu era rezolvată.[13]
Note
^en Akiyama, Jin; Nakamura, Gisaku (). „Dudeney Dissection of Polygons”. Discrete and Computational Geometry. Lecture Notes in Computer Science. 1763. pp. 14–29. doi:10.1007/978-3-540-46515-7_2. ISBN978-3-540-67181-7.
^en Pitici, Mircea (septembrie 2008). „Hinged Dissections”. Math Explorers Club. Cornell University. Accesat în .
^en O'Rourke, Joseph (). „Computational Geometry Column 44”. arXiv:cs/0304025v1.
^Martin Gardner, Amuzamente matematice, București: Editura Științifică, 1968, p. 184
^ aben Abbot, Timothy G.; Abel, Zachary; Charlton, David; Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Kominers, Scott D. (). „Hinged Dissections Exist”. Proceedings of the twenty-fourth annual symposium on Computational geometry - SCG '08. p. 110. arXiv:0712.2094. doi:10.1145/1377676.1377695. ISBN9781605580715.
