Născut la Brăila, Bîrligea s-a mutat în Italia la vârsta de 12 ani împreună cu mama și sora sa mai mare,[2] unde a reprezentat ASD Cantera Ribolla și Palermo la nivel de juniori.[3]
Pe 22 ianuarie 2020, Bîrligea și-a făcut debutul în Serie C pentru Teramo într-o victorie cu 1-0 în fața lui Catanzaro.[4] Pe parcursul a doi ani cu Il diavolo, el a strâns șapte goluri din 43 de apariții în toate competițiile.[5]
CFR Cluj
Pe 26 ianuarie 2022, Bîrligea s-a întors în România după ce a acceptat un contract cu campioana CFR Cluj.[5][6] El și-a făcut debutul pe 5 februarie, înlocuindu-l în minutul 87 pe Claudiu Petrila într-un egal 1–1 din Liga I contra Universității Craiova.[7]
Bîrligea a marcat primul său gol pentru alb-vișinii pe 1 mai 2022, într-o victorie de ligă cu 1-0 împotriva echipei Farul Constanța.[8] Două săptămâni mai târziu, a început într-o victorie cu 2-1 acasă în fața Universității Craiova, meci la finalul căruia clubul său a fost încoronat campion național cu o etapă înainte de sfârșitul sezonului.[9]
Pe 10 noiembrie 2022, Bîrligea a marcat primul său hat-trick din carieră într-o victorie cu 5-0 contra lui Dumbrăvița, meci care a contat pentru faza grupelor Cupei României.[10]