În analiza matematică, un câmp scalar este o funcție de mai multe variabile care asociază fiecărui punct al unui domeniu dintr-un spațiu euclidian un număr real, deci este o funcție scalară:

${\displaystyle \varphi :D\to \mathbb {R} ,\;\varphi (P)=\varphi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;(\forall )P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in D,}$

unde  ${\displaystyle D\subseteq E^{n}.}$

Dându-se un punct fix  ${\displaystyle P_{0},}$  suprafața de ecuație:

${\displaystyle \varphi (P)=\varphi (P_{0})}$

se numește suprafață de nivel a câmpului  ${\displaystyle \varphi (P),}$  atașată punctului  ${\displaystyle P_{0}.}$

Se consideră câmpul scalar tridimensional definit prin  ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})={\vec {a}}\cdot {\vec {r}},}$  unde  ${\displaystyle {\vec {a}}}$  este un vector unitar constant, iar  ${\displaystyle {\vec {r}}}$  este vectorul de poziție al punctului curent din spațiu.

Atunci suprafețele de nivel ale câmpului sunt date de ecuația:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {r}}=C,}$

unde C este o constantă. Aceste suprafețe sunt plane perpendiculare pe  ${\displaystyle {\vec {a}}.}$ 

De exemplu, suprafața de nivel care trece prin punctul  ${\displaystyle A(1,2,3)}$  este planul perpendicular pe  ${\displaystyle {\vec {a}}}$  și care are ecuația:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {r}}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}},}$  unde  ${\displaystyle {\vec {b}}={\vec {i}}+2{\vec {j}}+3{\vec {k}}.}$ 

Fie o curbă  ${\displaystyle (\Gamma )}$  care trece printr-un punct  ${\displaystyle P_{0}.}$  Dacă există limita:

${\displaystyle \lim _{P\to P_{0}}{\frac {\varphi (P)-\varphi (P_{0})}{l_{P_{0}P}}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}}$

valoarea acesteia se numește derivata câmpului scalar după direcția de versor  ${\displaystyle {\vec {t}}}$  în punctul  ${\displaystyle P_{0},}$ 

unde  ${\displaystyle {\vec {t}}}$  este versorul tangentei la curbă, în punctul P, iar  ${\displaystyle l_{P_{0}P}}$  este abscisa curbilinie a punctului  ${\displaystyle P}$  față de  ${\displaystyle P_{0}.}$ 

Notând cu  ${\displaystyle {\vec {n}}}$  versorul normalei la suprafața de nivel care trece prin  ${\displaystyle P_{0}}$  și cu  ${\displaystyle \theta }$  unghiul dintre  ${\displaystyle {\vec {t}}}$  și  ${\displaystyle {\vec {n}},}$  există relația:

${\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot \cos \theta .\right)_{P_{0}}}$

Astfel, într-un spațiu tridimensional:

${\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\right)_{P_{0}}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\right)^{2}}}.}$

Dacă  ${\displaystyle \varphi _{h}(P),\;(h=1,2,\cdots ,n),}$  sunt funcții diferențiabile și la fel și funcția  ${\displaystyle F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}),}$  atunci:

${\displaystyle {\frac {dF}{d{\vec {t}}}}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot {\frac {\partial \varphi _{h}}{\partial {\vec {t}}}}.}$

Pentru calculul derivatei lui  ${\displaystyle \Phi =x^{2}yz+4xz^{2}}$  în punctul  ${\displaystyle A(1,2,-1)}$  și după direcția  ${\displaystyle 2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}$  se fac calculele:

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi ={\overrightarrow {\nabla }}(x^{2}yz+4xz^{2})=(2xyz+4z^{2}){\vec {i}}+x^{2}z{\vec {j}}+(x^{2}y+8xz){\vec {k}},}$

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi _{A}=8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}}.}$

Vectorul unitar în direcția  ${\displaystyle 2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}$  este:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}{\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}}={\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}.}$

Deci:

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi \cdot {\vec {a}}=(8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}})\cdot \left({\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}\right)={\frac {37}{3}}.}$

Dacă  ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$  sunt componentele versorului  ${\displaystyle {\vec {t}},}$  în cazul unui spațiu tridimensional:

${\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\alpha {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}+\beta {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}+\gamma {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}.}$

Vectorul de componente  ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}}$  se numește gradientul câmpului scalar diferențiabil  ${\displaystyle \varphi (P)}$  în punctul  ${\displaystyle P_{0}\in D}$  și se notează  ${\displaystyle (grad\;\varphi )_{P_{0}}.}$ 

Există relațiile:

${\displaystyle grad\;\varphi ={\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot {\vec {n}}}$

${\displaystyle grad\;F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n})=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot grad\;\varphi _{h}.}$

Operatorul diferențial vectorial:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}=={\vec {i}}{\partial \over \partial x}+{\vec {j}}{\partial \over \partial y}+{\vec {k}}{\partial \over \partial z}}$

se numește nabla sau operatorul Hamilton.

Deci:

${\displaystyle grad\;\varphi ={\vec {\nabla }}\varphi ,\;\;{\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}=\left({\vec {t}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\cdot \varphi .}$

Fie  ${\displaystyle {\vec {u}}}$  un vector de mărime u și versor  ${\displaystyle {\vec {u}}_{0},}$  adică  ${\displaystyle {\vec {u}}=u\cdot {\vec {u}}_{0}.}$  Dacă se notează  ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}=u\left({\vec {u}}_{0}\cdot {\dot {\nabla }}\right)}$  atunci expresia:

${\displaystyle \left({\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\varphi =u\cdot {\frac {d\varphi }{d{\vec {u}}_{0}}}}$

se numește derivata funcției  ${\displaystyle \varphi (P)}$  în raport cu vectorul  ${\displaystyle {\vec {u}}.}$

• Câmp vectorial