În algebra liniară o aplicație multiliniară alternată este o aplicație multiliniară cu toate argumentele aparținând aceluiași spațiu vectorial (de exemplu, o formă biliniară sau o formă multiliniară (d ) ) care ia valoarea zero ori de câte ori în vreo pereche de argumente acestea sunt egale. În general spațiul vectorial poate fi un modul (d ) peste un inel comutativ .
Noțiunea de alternare este folosită pentru a obține o aplicație multiliniară alternată din orice aplicație multiliniară cu toate argumentele aparținând aceluiași spațiu.
Definiție
Fie
R
{\displaystyle R}
un inel comutativ și
V
,
W
{\displaystyle V,W}
module peste
R
{\displaystyle R}
. Despre o aplicație multiliniară de forma
f
: : -->
V
n
→ → -->
W
{\displaystyle f\colon V^{n}\to W}
se spune că este alternată dacă îndeplinește următoarele condiții echivalente:
ori de câte ori
1
≤ ≤ -->
i
≤ ≤ -->
n
− − -->
1
{\displaystyle 1\leq i\leq n-1}
astfel încât
x
i
=
x
i
+
1
,
{\displaystyle x_{i}=x_{i+1},}
există
f
(
x
1
,
… … -->
,
x
n
)
=
0.
{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}
[ 1] [ 2]
ori de câte ori
1
≤ ≤ -->
i
≠ ≠ -->
j
≤ ≤ -->
n
{\displaystyle 1\leq i\neq j\leq n}
astfel încât
x
i
=
x
j
,
{\displaystyle x_{i}=x_{j},}
există
f
(
x
1
,
… … -->
,
x
n
)
=
0.
{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}
[ 1]
Spații vectoriale
Fie
V
,
W
{\displaystyle V,W}
spații vectoriale peste același corp. Atunci o aplicație multiliniară de forma
f
: : -->
V
n
→ → -->
W
{\displaystyle f\colon V^{n}\to W}
este una alternată dacă îndeplinește următoarea condiție:
dacă
x
1
,
… … -->
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
sunt dependente liniar (d ) atunci
f
(
x
1
,
… … -->
,
x
n
)
=
0
{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}
.
Exemple
Într-o algebră Lie (d ) , parantezele Lie indică o aplicație biliniară alternată. Determinantul unei matrice este o aplicație alternată multiliniară a liniilor sau coloanelor matricei.
Proprietăți
Dacă orice componentă
x
i
{\displaystyle x_{i}}
a unei aplicații multiliniare alternate este înlocuită cu
x
i
+
c
x
j
{\displaystyle x_{i}+cx_{j}}
pentru orice
j
≠ ≠ -->
i
{\displaystyle j\neq i}
și
c
{\displaystyle c}
în baza inelului
R
,
{\displaystyle R,}
atunci valoarea acelei aplicații nu se schimbă.
Orice aplicație multiliniară alternată este antisimetrică,[ 4] ceea ce înseamnă că[ 1]
f
(
… … -->
,
x
i
,
x
i
+
1
,
… … -->
)
=
− − -->
f
(
… … -->
,
x
i
+
1
,
x
i
,
… … -->
)
for any
1
≤ ≤ -->
i
≤ ≤ -->
n
− − -->
1
,
{\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ for any }}1\leq i\leq n-1,}
sau echivalent,
f
(
x
σ σ -->
(
1
)
,
… … -->
,
x
σ σ -->
(
n
)
)
=
(
sgn
-->
σ σ -->
)
f
(
x
1
,
… … -->
,
x
n
)
for any
σ σ -->
∈ ∈ -->
S
n
,
{\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in S_{n},}
unde
S
n
{\displaystyle S_{n}}
este grupul de permutări (d ) de ordinul
n
{\displaystyle n}
iar
sgn
-->
σ σ -->
{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }
este semnul lui
σ σ -->
.
{\displaystyle \sigma .}
[ 5]
Dacă
n
!
{\displaystyle n!}
este o unitate (d ) în inelul bazei,
R
,
{\displaystyle R,}
atunci orice formă n -multiliniară antisimetrică este una alternată.
Alternare
Fiind dată o aplicație multiliniară de forma
f
:
V
n
→ → -->
W
,
{\displaystyle f:V^{n}\to W,}
despre aplicația multiliniară alternată
g
:
V
n
→ → -->
W
{\displaystyle g:V^{n}\to W}
definită de
g
(
x
1
,
… … -->
,
x
n
)
:=
∑ ∑ -->
σ σ -->
∈ ∈ -->
S
n
sgn
-->
(
σ σ -->
)
f
(
x
σ σ -->
(
1
)
,
… … -->
,
x
σ σ -->
(
n
)
)
{\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}
se spune că este alternarea lui
f
.
{\displaystyle f.}
Proprietăți
Note
Bibliografie
fr Bourbaki, N. (2007 ). Eléments de mathématique . Algèbre Chapitres 1 à 3 (ed. reprint). Springer.
en Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004 ). Abstract Algebra (ed. 3rd). Wiley.
en Lang, Serge (2002 ). Algebra . Graduate Texts in Mathematics . 211 (ed. revised 3rd). Springer. ISBN 978-0-387-95385-4 . OCLC 48176673 .
en Rotman, Joseph J. (1995 ). An Introduction to the Theory of Groups . Graduate Texts in Mathematics. 148 (ed. 4th). Springer. ISBN 0-387-94285-8 . OCLC 30028913 .
Vezi și