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Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.^[1]

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos.^[2] São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

Definição formal

Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:

• Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0.
• Se S e T estão em M então S ∪ T e S ∩ T também estão e, além disso, a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• Se S e T estão em M e S ⊆ T então T − S está em M e a(T−S) = a(T) − a(S).
• Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T).
• Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk.
• Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, S ⊆ Q ⊆ T. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c.

Pode ser demonstrado que existe uma tal função área.^[3]

Unidades

Ver artigo principal: Unidades de área

Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.

Conversões

A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como

1 Pé = 12 polegadas,

é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que

1 pé = 144 polegadas quadradas,

sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:

• 1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados;
• 1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados;
• 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados;
• 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados;
• 1 milha = 3 097 600 jardas quadradas = 27 878 400 pés quadrados.

Outras unidades

Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área:

• 1 are = 100 metros quadrados.

Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muito usado para medir terrenos e propriedades:

• 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados.

Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade.

O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo:

• 1 acre = 4 840 jardas quadradas = 43 560 pés quadrados.

Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

História

Acredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas à geometria e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da evolução humana.

Dentre os principais matemáticos da antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se Tales de Mileto (VI a.C.), na Grécia, importando a geometria utilizada pelos egípcios; Pitágoras, conhecido pelo teorema aplicado ao triângulo retângulo que recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século, "os Elementos” de Euclides trouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais como ponto, reta e círculo, como também nos cinco postulados. É um sistema axiomático que surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas.

Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com áreas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, pés, passos, braças e cúbitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a.C., período em que iniciavam-se a construção dos primeiros templos na Mesopotâmia e no Egito, os responsáveis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram então como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram réguas de madeiras e metal, ou ainda com nós, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento.

O cálculo de áreas iniciou-se possivelmente pela prática da arrecadação de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extensão dos campos só pela observação visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do chão com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo número de fileiras existentes, dando origem assim à fórmula para o cálculo da área de um retângulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura.

Logo após, desenvolveram uma fórmula para o cálculo da área de um triângulo, fundados num pensamento bastante geométrico, no qual tinham a área de um quadrado ou retângulo e dividindo-os ao meio em diagonal obtinham a área do triângulo, assim a área do triângulo é dada pela metade da área do quadrado ou do retângulo. Quando o terreno não tinha a forma retangular ou triangular, os primeiros cartógrafos e agrimensores, utilizavam a triangulação, que consistia num processo de divisão da área em triângulos, cuja soma de suas áreas representava o total da área.

No entanto, esse processo de triangulação apresentava alguns pequenos erros, ao medir a área de terrenos não planos ou com curvas. Surgiu assim a necessidade de calcular o comprimento da circunferência e a área do círculo. Com uma corda pequena ou grande sendo girada em torno de um ponto fixo tinha-se a figura de um circunferência. Essa corda, medida que conhecemos como raio da circunferência, tinha alguma relação com o comprimento da circunferência, assim, tomando essa corda e observando quantas vezes ela caberia na circunferência, perceberam que cabia pouco mais de seis vezes e um quarto, independente do seu tamanho. Desta forma concluíram que o comprimento da circunferência poderia ser dado por 6,28 vezes a medida do raio o que corresponde ao que calculamos hoje quando fazemos ${\displaystyle C=2\pi r}$, onde ${\displaystyle \pi }$ vale aproximadamente ${\displaystyle 3,14}$.

Quanto à área do círculo, por volta de 2000 anos a.C., conta-se que Amósis, um escriba egípcio, se propôs a determinar a área de um círculo, pensando inicialmente em calcular a área de um quadrado e obter o número de vezes que essa área caberia na área do círculo. Depois para definir qual seria esse quadrado, considerou mais adequado utilizar o quadrado cujo lado tivesse a mesma medida do raio do círculo do qual se desejava calcular a área, assim procedendo provou que o quadrado se inseria no círculo entre três e quatro vezes, o que representava uma aproximação de três vezes e um sétimo, o que atualmente consideramos aproximado a 3,14 vezes. Desta forma determinou a área do círculo multiplicando a área do quadrado por 3,14, situação que utilizamos atualmente com ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$, com ${\displaystyle \pi }$ valendo aproximadamente ${\displaystyle 3,14}$.

Na Grécia, aproximadamente em 500 a.C. foram fundadas as primeiras universidades. Neste período Tales e seu discípulo Pitágoras organizaram, desenvolveram e aplicaram todo o conhecimento da Babilônia, Etúrria, Egito e Índia à matemática, navegação e religião. Neste período, crescia a curiosidade e a procura por livros de geometria, o conhecimento do Universo ampliava-se velozmente e a escola de Pitágoras fez afirmações quanto à forma da Terra identificando-a como esférica ao invés de plana. Surgiram novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.^[4]

Fórmulas de cálculo

Retângulo

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:

${\displaystyle A=l\times w}$ (área do retângulo)

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:

${\displaystyle A=l^{2}}$ (área do quadrado)

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.

Fórmulas por dissecção

A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezoide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezoide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:

${\displaystyle A=b\times h}$ (área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

${\displaystyle A={\frac {b\times h}{2}}}$ (área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezoide, do losango e de outros polígonos mais complicados.

Área de outros polígonos

Área do trapézio:

${\displaystyle A={\frac {B+b}{2}}\times h}$ (B = base maior; b = base menor; h = altura)^[5]

Área do losango:

${\displaystyle A={\frac {D\times d}{2}}}$ (D = diagonal maior; d = diagonal menor)^[6]

Área de qualquer polígono regular:

${\displaystyle {\frac {P\times a}{2}}}$ (P = perímetro; a = comprimento do apótema)^{[carece de fontes?]}

Círculo

A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio ${\displaystyle r}$ é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é ${\displaystyle r}$ e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, ${\displaystyle \pi r.}$ Resulta que a área do círculo é ${\displaystyle r\times \pi r,}$ ou seja, ${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle A=\pi \times r^{2}}$ (área do círculo; r = raio)^[7]

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores.

O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente ${\displaystyle \pi r^{2},}$ que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:

${\displaystyle A\;=\;\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}$

Área de uma superfície

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.

Á área de uma esfera com raio ${\displaystyle r}$ é:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ (área da esfera)

Lista de fórmulas

Fórmulas comumente usadas para o cálculo da área

Figura	Formula	Variáveis
Triângulo equilátero	${\displaystyle {\frac {L^{2}}{4}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle L}$ é comprimento de um lado do triângulo.
Triângulo	${\displaystyle {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$	${\displaystyle p}$ é metade do perímetro, ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ é o comprimento de cada um dos lados.
Triângulo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\mathrm {sen} \,(C)}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são quaisquer dois lados, e ${\displaystyle C}$ é o ângulo entre eles.
Triângulo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh}$	${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle h}$ são a base e altura (medida perpendicularmente à base), respetivamente.
Quadrado	${\displaystyle l^{2}}$	${\displaystyle l}$ é o comprimento de um dos lados do quadrado.
Retângulo	${\displaystyle ab}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.
Losango	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são o comprimento de cada uma das diagonais do losango.
Paralelogramo	${\displaystyle bh}$	${\displaystyle b}$ é o comprimento da base e ${\displaystyle h}$ é a altura medida na perpendicular.
Trapézio	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são os lados paralelos e ${\displaystyle h}$ a distância (altura) entre os lados paralelos.
Hexágono regular	${\displaystyle {\frac {3L^{2}}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle L}$ é o comprimento de um dos lados do hexágono.
Octógono regular	${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})l^{2}}$	${\displaystyle l}$ é o comprimento de um dos lados do octógono
Polígono regular	${\displaystyle {\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot(\pi /n)}$	${\displaystyle l}$ é o comprimento de um dos lados e ${\displaystyle n}$ o número de lados.
Polígono regular	${\displaystyle {\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \mathrm {sen} \,(2\pi /n)=nr^{2}\tan(\pi /n)}$	${\displaystyle R}$ é o raio do círculo circunscrevente, ${\displaystyle r}$ o raio do círculo interior, e ${\displaystyle n}$ é o número de lados.
Polígono regular	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ap}$	${\displaystyle a}$ é o apótema (raio do círculo interior ao polígono) e ${\displaystyle p}$ é o perímetro do polígono.
Círculo	${\displaystyle \pi r^{2}\ {\text{ou}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}}$	${\displaystyle r}$ é o raio e ${\displaystyle d}$ o diâmetro.
Setor circular	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta }$	${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$ são, respetivamente, o raio e ângulo (em radianos).
Elipse	${\displaystyle \pi ab}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são o semieixo maior e semieixo menor, respetivamente.
Área total da superfície do cilindro	${\displaystyle 2\pi r(r+h)}$	${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle h}$ são o raio e altura do cilindro.
Superfície lateral do cilindro	${\displaystyle 2\pi rh}$	${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle h}$ são o raio e altura do cilindro.
Superfície total do cone	${\displaystyle \pi r(r+l)}$	${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle l}$ são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.
Superfície total da esfera	${\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{ou}}\ \pi d^{2}}$	${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle d}$ são o raio e o diâmetro, respetivamente.
Superfície total da pirâmide	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$	${\displaystyle B}$ é a área da base, ${\displaystyle P}$ o perímetro da base e ${\displaystyle L}$ a distância do vértice aos cantos da base.

Aplicações

Pode-se operacionalizar as áreas de algumas figuras planas e utilizá-las em algumas aplicações úteis. Evidentemente, associa-se área de uma figura plana a um número positivo, o qual expressa o espaço do plano ocupado por ela.

Notação

Usa-se a escrita ${\displaystyle (ABC...N)}$ para indicar a área de um polígono de ${\displaystyle N}$ vértices. Vale lembrar que em qualquer polígono o número de vértices é igual ao número de lados.

Área de um triângulo

Critério para equivalência de triângulos

Propriedade 1

Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm áreas iguais.

Demonstração: Dadas duas retas paralelas ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$, a uma distância ${\displaystyle d}$, marcamos sobre a reta ${\displaystyle r}$, os pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, e sobre a reta ${\displaystyle s}$, marcamos os pontos, ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle C^{\prime }}$, conforme figura abaixo.

Essa é uma consequência do corolário: Sejam ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle ABC^{\prime }}$ triângulos tais que ${\displaystyle AB//CC^{\prime }}$. Então ${\displaystyle (ABC)=(ABC^{\prime })}$.^[8]

Analisando as áreas dos triângulos ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle ABC^{\prime }}$, temos que:

${\displaystyle (ABC)=AB\cdot {\frac {d}{2}}}$

${\displaystyle (ABC^{\prime })=AB\cdot {\frac {d}{2}}}$

Assim, como ${\displaystyle r//s}$ e a distância de ${\displaystyle r}$ a ${\displaystyle s}$ dada por ${\displaystyle d(r,s)=d}$, se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ pertencem a reta ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle C}$ pertence a reta ${\displaystyle s}$, obtendo um ponto qualquer ${\displaystyle C^{\prime }}$ sobre a reta ${\displaystyle s}$, temos ${\displaystyle AB//CC^{\prime }}$, portanto os dois triângulos ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle ABC^{\prime }}$ possuem a mesma base ${\displaystyle AB}$ e a mesma altura ${\displaystyle d}$, logo suas áreas são iguais.

Propriedade 2

Se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre as suas bases.

Na triângulo ${\displaystyle ABC}$, foi traçada uma ceviana a partir do vértice ${\displaystyle A}$ intersectando o lado ${\displaystyle BC}$ no ponto ${\displaystyle X}$, ficando assim determinados dois triângulos: ${\displaystyle AXB}$ e ${\displaystyle AXC}$, de mesma altura ${\displaystyle AH}$.

Demonstração: Fazendo a razão entre as áreas temos,

${\displaystyle {\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}BX\cdot AX}{{\frac {1}{2}}CX\cdot AH}}={\frac {BX}{CX}}}$

Portanto,

${\displaystyle {\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {BX}{CX}}}$

Triângulos semelhantes

Ver artigo principal: Semelhança de triângulos

Dados dois triângulos semelhantes ABC e MNP, vamos analisar a razão de semelhança entre a razão entre suas áreas e sua razão de semelhança.

Sejam ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle MNP}$ dois triângulos semelhantes, sendo ${\displaystyle k}$ a razão de semelhança entre seus lados:

${\displaystyle {\frac {MP}{AC}}={\frac {MN}{AB}}={\frac {NP}{BC}}=k}$, então temos ${\displaystyle {\frac {(MNP)}{(ABC)}}=k^{2}}$

Demonstração: Como ${\displaystyle NP=k\cdot BC}$ e ${\displaystyle HM=k\cdot AH}$, temos pelas áreas dos triângulos:

${\displaystyle {\frac {(MNP)}{(ABC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}NP\cdot AM}{{\frac {1}{2}}BC\cdot AH}}={\frac {k\cdot BC\cdot k\cdot AH}{BC\cdot AH}}=k^{2}}$

Portanto, dados dois triângulos com razão de semelhança ${\displaystyle k}$ entre seus lados correspondentes, a razão de semelhança entre suas áreas será ${\displaystyle k^{2}}$.

A prova do teorema de Pitágoras e outras relações métricas no triângulo retângulo através do cálculo de áreas

Seja ${\displaystyle ABC}$ um triângulo retângulo no vértice ${\displaystyle A}$, onde a hipotenusa ${\displaystyle BC=a}$, e seus catetos ${\displaystyle AB=c}$ e ${\displaystyle AC=b}$, considerando ainda a altura relativa à hipotenusa ${\displaystyle AH=h}$, bem como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa ${\displaystyle BH=m}$ e ${\displaystyle CH=n}$, temos:

Vamos provar as seguintes relações através do cálculo de áreas:

• I. ${\displaystyle ah=bc}$
• II. ${\displaystyle c^{2}=am}$ e ${\displaystyle b^{2}=na}$
• III. ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

Demonstração I:

I.a) Calculando a área ${\displaystyle (ABC)}$ a partir da base ${\displaystyle BC}$ e altura ${\displaystyle AH}$:

${\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}BC\cdot AH={\frac {1}{2}}a\cdot h}$

I.b) Calculando a área ${\displaystyle (ABC)}$ a partir da base ${\displaystyle AC}$ e altura ${\displaystyle AB}$:

${\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}AC\cdot AB={\frac {1}{2}}b\cdot c}$

Decorre de I.a) e I.b) temos que ${\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}a\cdot h={\frac {1}{2}}b\cdot c}$.

Logo ${\displaystyle a\cdot h=b\cdot c}$

Demonstração II:

II.a) Dado o triângulo ${\displaystyle ABC}$, retângulo em ${\displaystyle A}$, constrói-se quadrados sobre a hipotenusa ${\displaystyle BC}$ e os catetos ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle AB}$, respectivamente de medidas ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$. Depois prolonga-se a altura ${\displaystyle AH}$ até interceptar o lado ${\displaystyle FG}$ do quadrado ${\displaystyle BCGF}$ no ponto ${\displaystyle I}$.

Observando os segmentos paralelos ${\displaystyle BG}$ e ${\displaystyle AI}$, percebe-se dois triângulos ${\displaystyle GBA}$ e ${\displaystyle GBH}$ de mesma área, cujas bases medem ${\displaystyle a}$ e as alturas medem ${\displaystyle m}$.

Assim, ${\displaystyle (GBA)=(GBH)={\frac {1}{2}}BG\cdot BH={\frac {1}{2}}a\cdot m}$

Vejamos ainda na figura acima que, os triângulos ${\displaystyle GBA}$ e ${\displaystyle BDC}$ são congruentes pelo caso LAL, pois ${\displaystyle BD\equiv BA}$, ${\displaystyle BC\equiv BG}$ e ${\displaystyle \angle CBD\equiv \angle ABC+90^{\circ }}$. Logo, ${\displaystyle (BDC)=(GBA)}$. E como os segmentos ${\displaystyle BD}$ e ${\displaystyle AC}$ são paralelos temos que ${\displaystyle (BDA)=(BDC)}$, visto que a base ${\displaystyle BD}$ e a altura ${\displaystyle AB}$ são comuns aos dois triângulos.

Assim: ${\displaystyle BD=AB=c}$, então ${\displaystyle (BDA)=(BDC)={\frac {1}{2}}BD\cdot BA={\frac {1}{2}}c\cdot c={\frac {c^{2}}{2}}}$

Daí, ${\displaystyle (GBA)=(BDC)\Rightarrow {\frac {am}{2}}={\frac {c^{2}}{2}}\Rightarrow c^{2}=am}$

II.b) De maneira análoga, é provado que ${\displaystyle b^{2}=an}$

Como ${\displaystyle AI//CF}$, temos nos triângulos ${\displaystyle ACF}$ e ${\displaystyle HCF}$ que ${\displaystyle (ACF)=(HCF)}$, pois possuem a mesma base ${\displaystyle CF}$ e mesma altura ${\displaystyle CH}$, sendo assim:

${\displaystyle (ACF)=(HCF)={\frac {1}{2}}CF\cdot CH={\frac {1}{2}}}$

Temos ainda que os triângulos ${\displaystyle BCJ}$ e ${\displaystyle ACF}$ são congruentes pelo caso LAL, pois ${\displaystyle AC\equiv CJ=b}$; ${\displaystyle CF\equiv BC=a}$; ${\displaystyle \angle ACF\equiv \angle BCJ\equiv \angle ACB+90^{\circ }}$. Então, como ${\displaystyle AK//CJ}$ temos:

${\displaystyle (ACJ)=(BCJ)={\frac {1}{2}}AC\cdot CJ={\frac {1}{2}}b^{2}}$

Portanto, da congruência ${\displaystyle BCJ}$ e ${\displaystyle ACF}$, temos:

${\displaystyle (BCJ)=(ACF)\Rightarrow {\frac {1}{2}}b^{2}={\frac {1}{2}}an\Rightarrow b^{2}=an}$

Demonstração III:

De maneira simplificada, somando as duas igualdades II.a) e II.b) temos:

${\displaystyle b^{2}=an}$ e ${\displaystyle c^{2}=am}$, logo ${\displaystyle b^{2}+c^{2}=an+am\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a(n+m)}$

Como ${\displaystyle n+m=a}$, temos:

${\displaystyle b^{2}+c^{2}=a(n+m)\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}}$ (Teorema de Pitágoras)

Pode-se obter uma demonstração mais elaborada do teorema de Pitágoras por meio do cálculo de áreas. Observando a figura da demonstração II. b) temos que:

${\displaystyle BCJ\equiv ACF}$, pelo caso LAL, então ${\displaystyle (BCJ)=(ACF)}$. Temos também que ${\displaystyle (ACJ)=(BCJ)=(ACF)}$ e ${\displaystyle (ACF)=(CHF)=(BCJ)}$. Daí, ${\displaystyle (ACJ)=(CHF)}$.

Logo, ${\displaystyle (ACJK)=2(ACJ)=2(CHF)}$.

Por outro lado, da demonstração II. b), onde ${\displaystyle GBA\equiv BDC}$, pelo caso LAL, então ${\displaystyle (GBA)=(BDC)}$. Temos ainda que ${\displaystyle (ABD)=(BDC)=(ABG)}$ e ${\displaystyle (ABG)=(BHG)=(BDC)}$. Daí, ${\displaystyle (ABD)=(BHG)}$.

Logo, ${\displaystyle (ABDE)=2(ABD)=2(BHG)}$.

Portanto, analisando a área do quadrado ${\displaystyle BCGF}$ de acordo com as demonstrações II. a) e II. b), temos que:

${\displaystyle (BCFG)=(CHIF)+(BHGI)}$

${\displaystyle (BCFG)=2(CHF)+2(BHG)}$

${\displaystyle (BCFG)=(ACJK)+(ABDE)}$

Concluindo, ${\displaystyle (BCFG)=a^{2}}$, ${\displaystyle (ACJK)=b^{2}}$ e ${\displaystyle (ABDE)=c^{2}}$

Então, ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ (Teorema de Pitágoras)

Área de um trapézio

No trapézio ${\displaystyle ABCD}$ de altura ${\displaystyle h}$, temos os lados paralelos ${\displaystyle AB}$ e ${\displaystyle DC}$, tal que ${\displaystyle AB=a}$ e ${\displaystyle DC=b}$.

Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que ${\displaystyle AB>DC}$, e traçar pelo vértice ${\displaystyle B}$ um segmento paralelo ao lado ${\displaystyle AD}$ de forma que intercepte o lado ${\displaystyle DC}$ no ponto ${\displaystyle E}$. Assim, como ${\displaystyle AB//DC}$ e ${\displaystyle AD//BE}$, temos o paralelogramo ${\displaystyle ABED}$ de altura ${\displaystyle h}$ e base ${\displaystyle DE=AB=a}$, e temos ainda um triângulo ${\displaystyle BCE}$ de base ${\displaystyle EC=DC-DE=b-a}$, e altura ${\displaystyle h}$.

Note que:

${\displaystyle (ABCD)=(ABED)+(BCE)=a\cdot h+{\frac {1}{2}}(b-a)h={\frac {2ah+bh-ah}{2}}}$

Portanto,

${\displaystyle (ABCD)={\frac {(a+b)h}{2}}}$

Área de um losango

De acordo com o corolário: Se ABCD é um losango de diagonais AC e BD, então ${\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}ABCD}$.^[9]

Demonstração: Dado o losango ${\displaystyle ABCD}$, cujas diagonais interceptam-se no ponto ${\displaystyle M}$, simultâneamente, ponto médio de ambas as diagonais ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle BD}$.

Como ${\displaystyle AB=BC=CD=DA}$, os triângulos determinados pelas diagonais ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle BD}$, são isósceles e como ${\displaystyle M}$ é ponto médio destas diagonais, temos que, ${\displaystyle AM=MC}$, ${\displaystyle BM=MD}$, portanto os triângulos ${\displaystyle ABD}$ e ${\displaystyle BCD}$ são congruentes pelo caso LAL, assim como os triângulos ${\displaystyle ADC}$ e ${\displaystyle ABC}$, pelo mesmo caso.

Sendo assim, vamos mostrar a área do losango através dos triângulos determinados pela diagonal ${\displaystyle BD}$.

${\displaystyle (ABCD)=(ABD)+(BCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot MC+{\frac {1}{2}}BD\cdot AM}$

${\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot (AM+MC)}$.

Como ${\displaystyle AM+MC=AC}$, temos:

${\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}AC\cdot BD}$

Ver também

• Unidades de área
• Volume
• Comprimento da circunferência

Referências

Ligações externas

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Área

WikiUnits - Converter Área entre diferentes unidades