Em matemática e física, o operador do vetor de Laplace, denotado por ${\displaystyle \nabla ^{2}}$, nomeado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, é um operador diferencial definido em um campo vetorial. O vetor Laplaciano é semelhante ao laplaciano escalar.^[1]

O vetor Laplaciano de um campo vetorial ${\displaystyle \mathbf {A} }$ é definido como

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$

Em coordenada cartesianas, isso reduz a forma muito mais simples:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),}$

onde ${\displaystyle A_{x}}$, ${\displaystyle A_{y}}$, e ${\displaystyle A_{z}}$ são os componentes de ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Isso pode ser visto como um caso especial da fórmula de Lagrange (veja Produto triplo).

Para expressões do vetor Laplaciano em outros sistemas de coordenadas, veja Del em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Referências

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